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6/15/2006 神秘数字与植物神秘数字author: 方舟子
你有留意过吗？扑克牌上的”梅花”只有三枚花瓣，事实上它不是梅花，而是三叶草。在西方，三叶草是一种很有象征意义的植物，据说第一叶代表希望，第 二叶代表信心，第三叶代表爱情，而如果你找到了有四片叶子的三叶草，就会交上好运，找到幸福。在野外寻找四叶的三叶草，是西方儿童的一种游戏，不过很难找 到，据估计，每一万株三叶草，才会出现一株四叶的突变型。 那么，梅花是几枚花瓣的呢？五枚。事实上，花朵最常见的花瓣数目就是五枚，例如与梅同属蔷薇科的其他物种，像桃、李、梨、杏、苹果、樱花等等就都开五瓣花。 如果你有足够的兴趣，你就会发现，在植物世界里，和花瓣相关的数字总是这么几个：3枚花瓣的鸢尾花、百合花(看上去有6枚，实际上是两套3枚)；8 枚花瓣的飞燕草；13枚花瓣的瓜叶菊；向日葵的花瓣有的是21枚，有的是34枚；雏菊的花瓣是34、55或89枚。而其他数目花瓣的花朵则很少见。为什么 花瓣数目不是随机分布的？3，5，8，13，21，34，55，89……这些数字有什么特殊的吗？ 斐波纳契数 是的，这些数字构成了斐波纳契数列。斐波纳契(1170-1240)是中世纪意大利数学家，他不是在数花瓣数目，而是在解一道关于兔子繁殖问题的时 候，得出了这个数列。假定你有一雄一雌一对刚出生的兔子，它们在长到一个月大时开始交配，在第二个月结束时，雌兔子产下另一对兔子，过了一个月后它们也开 始繁殖，如此这般持续下去。每只雌兔在开始繁殖后每月都产下一对兔子，假定没有兔子死亡，在一年后总共会有多少对兔子？ 在1月底，最初的一对兔子交配，但是还只有一对兔子；在2月底，雌兔产下一对兔子，共有2对兔子；在3月底，最老的雌兔产下第二对兔子，共有3对兔 子；在4月底，最老的雌兔产下第三对兔子，两个月前生的雌兔产下一对兔子，共有5对兔子……如此这般计算下去，兔子对数分别是：1，1，2，3，5，8， 13，21，34，55，89，144……看出规律了吗？从第3个数字开始，每个数字都是前面两个数字之和。 植物世界似乎对斐波纳契数着了迷。不仅在花瓣数目上，在叶子、枝条、果实、种子等形态特征上，都可发现斐波纳契数。 叶序 叶序是指叶子在茎上的排列方式，最常见的是互生叶序，即在每个节上只生1叶，交互而生。任意取一片叶子作为起点，向上用线连接各片叶子的着生点，可 以发现这是一条盘旋而上的螺旋线，直到上方另一片叶子的着生点恰好与起点叶的着生点重合，作为终点。从起点叶到终点叶之间的螺旋线绕茎周数，称为叶序周。 不同种植物的叶序周可能不同，之间的叶数也可能不同。例如榆，叶序周为1(即绕茎1周)，有2叶；桑，叶序周为1，有3叶；桃，叶序周为2，有5叶；梨， 叶序周为3，有8叶；杏，叶序周为5，有13叶；松，叶序周为8，有21叶……用公式表示(绕茎的周数为分子，叶数为分母)，分别为1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21, ……这些是最常见的叶序公式，据估计大约有90%植物属于这类叶序，而它们的分子和分母全都是由斐波纳契数组成的。 你如果观察向日葵的花盘，会发现其种子排列组成了两组相嵌在一起的螺旋线，一组是顺时针方向，一组是逆时针方向。再数数这些螺旋线的数目，虽然不同 品种的向日葵会有所不同，但是这两组螺旋线的数目一般是34和55、55和89或89和144，其中前一个数字是顺时针线数，后一个数字是逆时针线数，而 每组数字都是斐波纳契数列中相邻的两个数。再看看菠萝、松果上的鳞片排列，虽然不像向日葵花盘那么复杂，但也存在类似的两组螺旋线，其数目通常是8和 13。有时候这种螺旋线不是那么明显，需要仔细观察才能注意到，例如花菜。如果你拿一棵花菜认真研究一下，会发现花菜上的小花排列也形成了两组螺旋线，再 数数螺旋线的数目，是不是也是相邻的两个斐波纳契数，例如顺时针5条，逆时针8条？掰下一朵小花仔细观察，它实际上是由更小的小花组成的，而且也排列成了 两条螺旋线，其数目也是相邻的两个斐波纳契数。 黄金数与和谐美 为什么植物如此偏爱斐波纳契数？这和另一个更古老的、早在古希腊时期就被人们注意到甚至崇拜的另外一个”神秘”数字有关。这个数就是著名的黄金数1.6180339887……，通常用Φ表示。 那么黄金数究竟和斐波纳契数有什么关系呢？ 我们把斐波纳契数列中相邻的两个数相除，得到的结果都近似等于Φ，斐波纳契数越大，则它们的比值越接近Φ，当无穷大时，其比就等于Φ。斐波纳契数与 黄金数是密切联系在一起的。植物喜爱斐波纳契数，实际上是喜爱黄金数。这又是为什么呢？莫非冥冥之中有什么安排，是上帝想让世界充满美与和谐？ 植物的枝条、叶子和花瓣有相同的起源，都是从茎尖的分生组织依次出芽、分化而来的。如果要充分地利用生长空间，新芽的生长方向应该与旧芽离得尽可能 的远。那么这个最佳角度是多少呢？我们可以把这个角度写成３６０°×ｎ，其中０＜ｎ＜１，由于左右各有一个角度是一样的只是旋转的方向不同 ，例如ｎ＝ ０．４和ｎ＝０．６实际上结果相同，因此我们只需考虑０．５≤ｎ＜１的情况。如果新芽要与前一个旧芽离得尽量远，应长到其对侧，即ｎ＝０．５＝１/２，但 是这样的话第２个新芽与旧芽同方向，第３个新芽与第１个新芽同方向……也就是说，仅绕１周就出现了重叠，而且总共只有两个生长方向，中间的空间都浪费了。 如果０．６＝３/５呢？绕３周就出现重叠，而且总共也只有５个方向。事实上，如果ｎ是个真分数ｐ/ｑ，则意味着绕ｐ周就出现重叠，共有ｑ个生长方向。 在这种情形下，植物的芽可以有最多的生长方向，占有尽可能多的空间。对叶子来说，意味着尽可能多地获取阳光进行光合作用，或承接尽可能多的雨水灌溉 根部；对花来说，意味着尽可能多地展示自己吸引昆虫来传粉；而对种子来说，则意味着尽可能密集地排列起来。这一切，对植物的生长、繁殖都是大有益处的。可 见，植物之所以偏爱斐波纳契数，乃是在适者生存的自然选择作用下进化的结果，并不神秘。 6/7/2006 庞加莱猜想被证明
5/13/2006 Bessel functions贝塞尔函数
Bessel functions 利用柱坐标求解涉及在圆、球与圆柱内的势场的物理问题时出现的一类特殊函数。又称标函数。用柱坐标解拉普拉斯方程时，用到贝塞尔函数，它们和其他函数组合成柱调和函数。除初等函数外，在物理和工程中贝塞尔函数是最常用的函数，它们以19世纪德国天文学家F.W.贝塞尔的姓氏命名，他在1824年第一次描述过它们。贝塞尔函数最早出现在涉及如悬链振荡，长圆柱体冷却以及紧张膜振动的问题中。 贝塞尔函数的一族，也称第一类贝塞尔函数，记作Jn（x），用x的偶次幂的无穷和来定义，数 n称为贝塞尔函数的阶，它依赖于函数所要解决的问题。J0 （x） 的图形像衰减的余弦曲线，J1（x）像衰减的正弦曲线( 见图 )。
第二类贝塞尔函数( 又称诺伊曼函数 )，记作Yn（x），它由第一类贝塞尔函数的简单组合来定义。
第三类贝塞尔函数（亦称汉克尔函数）定义为Hn＝Jn±iYn，其中i为虚数，用n阶( 正或负 )贝塞尔函数可解称为贝塞尔方程的微分方程。
——百度。知道。
5/10/2006 Texas Tech University Course DescriptionsMathematics (MATH)Click here for an explanation of how to read course offerings. Click here for A-Z course descriptions list. Developmental Courses0301. Essential Mathematics (3:3:0). A developmental course for students with weak preparation in fundamental mathematics, high school algebra, and geometry. MATH 0301 counts in the student's semester load and is recorded on the transcript, but the hours do not count as part of the minimum number of hours required for graduation in any degree program of the university. Grades are awarded for the semester, but they are not computed in the student's grade point average. This course counts for TSI math skills development provided the student has met with an advisor in the TSI Skills Development Office in 72 Holden Hall. 0302. Intermediate Algebra (3:3:0). Prerequisite: Score on the Mathematics Placement Examination of 2 or higher or a grade of B or better in MATH 0301. A developmental course for students with weak preparation in algebra or who need a review of high school algebra before enrolling in MATH 1320 or higher. MATH 0302 counts in the student's semester load and is recorded on the transcript, but the hours do not count as part of the minimum number of hours required for graduation in any degree program of the university. Grades are awarded for the semester, but they are not computed in the student's grade point average. This course counts for TSI math skills development provided the student has met with an advisor in the TSI Skills Development Office in 72 Holden Hall. 1000 Level Courses1300 [MATH 1332]. Contemporary Mathematics (3:3:0). Prerequisite: Score on mathematics placement examination of 3 or higher or a grade of B or better in MATH 0302. Quantitative literacy and problem solving with applications to finance, population dynamics, politics, and business. MATH 1300 and 1320 cannot both be counted towards the mathematical and logical reasoning core requirements. 1320 [MATH 1314]. College Algebra (3:3:0). Prerequisite: Score on the mathematics placement examination of 3 or higher or a grade of B or better in MATH 0302. Inequalities, determinants, theory of equations, binomial theorem, progressions, mathematical induction. MATH 1300 and 1320 cannot both be counted towards the mathematical and logical reasoning core requirements. 1321 [MATH 1316]. Trigonometry (3:3:0). Prerequisite: Score on the mathematics placement examination of 4 or higher MATH 1320, or a grade of A in MATH 0302. Trigonometric functions, radians, logarithms, solutions of triangles, identities, trigonometric equations, complex numbers, De Moivre's Theorem. 1330, 1331 [MATH 1324, 1325, 1425]. Introductory Mathematical Analysis (3:3:0 each). Prerequisite-1330: Score on the mathematics placement examination of 3 or higher or a grade of B or better in MATH 0302 or 1300; prerequisite-1331: Score on the mathematics placement examination of 4 or higher or MATH 1330. MATH 1330 contains pre-calculus topics of interest to students of business and the social sciences. These include mathematics of finance, probability and statistics, and Markov processes. MATH 1331 contains an introduction to regression analysis and topics from differential and integral calculus that are of interest to students of business and the social sciences. May not receive credit for both MATH 1330 and 1430. 1350 [MATH 1348, 2312, 2412]. Analytical Geometry (3:3:0). Prerequisite: Score on the mathematics placement examination of 6 or higher and knowledge of basic trigonometry or MATH 1320 and 1321. Fundamental concepts of analytical geometry. 1351 [MATH 2313, 2413, 2417, 2513]. Calculus I (3:3:0). Score on the mathematics placement examination of 7, MATH 1350, 1550, or score on MPE of 5 and MATH 1321. Differentiation of algebraic and transcendental functions, applications of the derivative, differentials, indefinite integrals, definite integrals. (Honors section offered.) 1352 [MATH 2314, 2414, 2419, 2517]. Calculus II (3:3:0). Prerequisite: MATH 1351 or consent. Methods of integration, parametric equations, polar coordinates, hyperbolic functions, applications. (Honors section offered.) 1420 [MATH 1414]. College Algebra With Review (4:3:2). Prerequisite: MPE code 2 or higher or grade of B in MATH 0301. Review of topics from high school algebra, inequalities, functions and graphs, linear systems, sequences, mathematics induction. Cannot receive credit for both 1320 and 1420. 1430. Introductory Mathematical Analysis With Review (4:3:2). Prerequisite: MPE code 2 or higher or a grade of B in MATH 0301. Review of topics from high school algebra, pre-calculus topics of interest to students of business and the social sciences. These include mathematics of finance, probability and statistics, and Markov processes. Cannot receive credit for both MATH 1330 and 1430. 1550. Precalculus (5:5:0). Prerequisite: Score on the MPE of 3 or higher or a grade of A in MATH 0302. Topics from college algebra, trigonometry, and analytical geometry that are necessary prerequisites for calculus I. 2000 Level Courses2300 [MATH 1342, 1442, 2342, 2442]. Statistical Methods (3:3:0). Prerequisite: Score on MPE of 4 or higher, MATH 1300, 1320, or equivalent. Methods of analyzing data, statistical concepts and models, estimation, tests of significance, introduction to analysis of variance, linear regression, and correlation. 2322. Analytical Geometry and Calculus for Engineering Technology I (3:3:0). Prerequisite: Score on MPE of 6 or higher or MATH 1320 and 1321. This course is intended for students of engineering technology. It covers selected topics in analytical geometry and stresses the geometric and physical aspects of calculus. 2323. Calculus for Engineering Technology II (3:3:0). Prerequisite: MATH 2322. This course is a continuation of MATH 2322. 2345. Introduction to Statistics with Application to Business (3:3:0). Prerequisite: At least a C in MATH 1330. Statistics and probability for business. Data collection, description, interpretation, prediction, inference, and computer software. 2350 [MATH 2315, 2415, 2519]. Calculus III (3:3:0). Prerequisite: MATH 1352. Partial differentiation, functions of several variables, multiple integrals, line integrals, surface integrals, Stokes Theorem. (Honors section offered.) 2360 [MATH 2318, 2418]. Linear Algebra (3:3:0). Prerequisite: MATH 1352. Finite-dimensional vector spaces, linear transformations and matrices, eigenvalues and eigenvectors. 2370 [MATH 1350]. Elementary Analysis I (3:3:0). Prerequisite: MATH 1320, and sophomore standing. Analytic geometry and the real number system with applications. Not for engineering, science, or mathematics majors. 2371. Elementary Analysis II (3:3:0). Prerequisite: MATH 1350 or 2370. Elementary differential and integral calculus with application. Not for engineering, science, or mathematics majors. 3000 Level Courses3322. Higher Mathematics for Engineering Technology (3:3:0). Prerequisite: MATH 2323. Topics include differential equations, Laplace transform, Fourier series, and vector and matrix algebra. 3342. Mathematical Statistics for Engineers and Scientists (3:3:0). Prerequisite: MATH 2350. Descriptive statistics, elementary probability, random variables and distributions, mean, variance, parameter estimation, hypothesis testing, regression, analysis of variance. MATH 3342 and 4332 cannot both be counted toward a mathematics major or minor. 3350. Higher Mathematics for Engineers and Scientists I (3:3:0). Prerequisite: MATH 2350 or concurrent registration with departmental consent. Ordinary differential equations. Laplace transforms. Other selected topics. MATH 3350 and 3354 may not both be counted toward a mathematics major or minor. 3351. Higher Mathematics for Engineers and Scientists II (3:3:0). Prerequisite: MATH 3350 or 3354. Partial differential equations and numerical methods. MATH 3351 and 4354 cannot both be counted toward a mathematics major or minor. 3354. Differential Equations I (3:3:0). Prerequisite: MATH 2350 and 2360. Solutions of ordinary differential equations, geometric and physical applications. MATH 3350 and 3354 may not both be counted toward a mathematics major or minor. 3360. Foundations of Algebra I (3:3:0). Prerequisite: MATH 2360. Fundamental concepts of abstract algebra. Primarily group theory. (Writing Intensive) 3370. Elementary Geometry (3:3:0). Prerequisite: MATH 2370 and junior standing. Congruence and measures of plane and solid figures, similarity, areas, volumes, and a brief introduction to concepts in probability and statistics. 3371. Elements of Finite Mathematics (3:3:0). Prerequisite: MATH 1331, 1351, or 2371. Combinatorics, probability theory. Bayes' Theorem, Bernoulli Trials. Probability distributions and statistics. Not for engineering, science, or mathematics majors. 3430. Computational Techniques for Science and Mathematics (4:3:2). Prerequisite: MATH 2360. Emphasis on scientific computing and problem solving techniques using state-of-the-art mathematics software packages. Restricted to mathematics majors or students enrolled in a secondary mathematics teacher program. 4000 Level Courses4000. Selected Topics (V1-3). Prerequisite: Consent of undergraduate program director. Selected topics in upper division mathematics. May be repeated for credit. 4310. Introduction to Numerical Analysis I (3:3:0). Prerequisite: MATH 3350 or 3354, including an elementary knowledge of programming or consent of instructor. Interpolation, approximations, numerical integration, and differentiation. 4312. Introduction to Numerical Analysis II (3:3:0). Prerequisite: MATH 2360, including an elementary knowledge of programming or consent of instructor. Numerical techniques in linear algebra. 4330. Mathematical Computing (3:3:0). Prerequisite: Consent of the Director of Undergraduate Programs, Department of Mathematics and Statistics. Topics from computational mathematics and programming. 4331. Advanced Geometry (3:3:0). Prerequisite: MATH 2350. Euclidean and non-Euclidean geometries. 4342, 4343. Mathematical Statistics (3:3:0 each). Prerequisite: MATH 2350. Frequency functions, moments, probability, correlation and regression, testing hypotheses, small sample distributions, analysis of variance, nonparametric methods, sequential analysis. 4342 is prerequisite for 4343. MATH 3342 and 4342 cannot both be counted toward a mathematics major or minor. 4350, 4351. Advanced Calculus (3:3:0 each). Prerequisite: MATH 2360 (MATH 3360 recommended). Sets, functions, vector fields, partial derivatives, power series, theory of integration, line, surface, and multiple integrals. 4350 is prerequisite for 4351. (4350 Writing Intensive) 4354. Differential Equations II (3:3:0). Prerequisite: MATH 3354 or 3350. Partial differential equations and boundary value problems. MATH 4354 and 3351 may not both be counted toward a mathematics major or minor. 4356. Elementary Functions of Complex Variables (3:3:0). Prerequisite: MATH 2360 (MATH 4350 is recommended). The complex number system, functions of a complex variable, differentiation, elementary functions, and contour integration. 4360. Foundations of Algebra II (3:3:0). Prerequisite: MATH 3360. Continuation of MATH 3360. Rings, fields, and applications. 4362. Theory of Numbers (3:3:0). Prerequisite: MATH 2360 (MATH 3360 is recommended). Prime numbers, congruencies, theorems of Fermat, Euler, and Wilson, residues, reciprocity law, Diophantine Equations. 4370. Elementary Problem Solving (3:3:0). Prerequisite: MATH 2371, or equivalent. Techniques of problem solving using elementary number theory. 4371. Basic Computer Literacy and Programming (3:3:0). Prerequisite: MATH 2371 or equivalent. Computer literacy, structured programming, and problem solving using modern mathematical computing technology. (For students seeking elementary school certification as mathematics specialists). 5000 Level Courses5101. Seminar in Algebra (1:1:0). Discussion of current research and topics of interest in algebra. Must be taken pass-fail. May be repeated for credit. 5102. Seminar in Analysis (1:1:0). Discussion of current research and topics of interest in analysis. Must be taken pass-fail. May be repeated for credit. 5103. Seminar in Control Theory (1:1:0). Discussion of current research and topics of interest in control theory. Must be taken pass-fail. May be repeated for credit. 5104. Seminar in Statistics (1:1:0). Discussion of current research and topics of interest in statistics. Must be taken pass-fail. May be repeated for credit. 5105. Seminar in Topology (1:1:0). Discussion of current research and topics of interest in topology. Must be taken pass-fail. May be repeated for credit. 5106. Seminar in Applied Mathematics (1:1:0). Discussion of current research and topics of interest in applied mathematics. Must be taken pass-fail. May be repeated for credit. 5107. Seminar in Biomathematics (1:1:0). Discussion of current research and topics of interest in biomathematics. Must be taken pass-fail. May be repeated for credit. 5310, 5311. Principles of Classical Applied Analysis I, II (3:3:0 each). Fourier series and integrals, discrete Fourier series, Laplace transforms, calculus of variations, Sturm-Louiville problems, integral equations, equations of fluids and solids, and ordinary and partial differential equations. 5312. Control Theory I (3:3:0). Prerequisite: MATH 2360, 3354, 4351, or consent of instructor. Linear dynamical systems, stability, frequency response and Laplace transform, feedback, state-space description, and geometric theory of linear systems. (M E 5312) 5313. Control Theory II (3:3:0). Prerequisite: MATH 5312, 5316, 5318, or consent of instructor. Quadratic regulator for linear systems, Kalman filtering, non-linear systems, stability, local controllability, and geometric theory of non-linear systems. (M E 5313) 5316. Applied Linear Algebra (3:3:0). Prerequisite: Consent of instructor. Solution of linear systems, matrix inversion, vector spaces, projections, determinants, eigenvalues and eigenvectors, Jordan form, computational methods, and applications. 5318, 5319. Intermediate Analysis I, II (3:3:0 each). The real number system, introduction to metric spaces, sequences, continuity, differentiation, Riemann integration, power series, functions of several variables, and differential forms. 5320, 5321. Functions of a Complex Variable I, II (3:3:0 each). Prerequisite: MATH 4350 or 4356. Analytic functions as mappings, Cauchy theorems, Laurent series, maximum modulus theorems and ramifications, normal families, Riemann mapping theorem, Weierstrass factorization theorem, Mittag-Leffler theory, analytic continuation, and harmonic functions. 5322, 5323. Functions of a Real Variable I, II (3:3:0 each). Prerequisite: MATH 5319 or equivalent. General measure and integration theory, Lp theory, differentiation theory, and basic functional analysis. 5324, 5325. Topology I, II (3:3:0 each). Prerequisite: MATH 4350 or consent of instructor. Point set theory, introduction to combinatorial topology and homology theory. 5326, 5327. Modern Algebra I, II (3:3:0 each). Prerequisite: MATH 3360 or consent of instructor. Groups, rings, fields, linear algebra, Galois theory. 5330, 5331. Theory of Ordinary Differential Equations I, II (3:3:0 each). Prerequisite: MATH 4351, 4354, or consent of instructor. Existence and uniqueness results, continuation of solutions, continuous dependence on data, linear equations, oscillation and comparison theorems, boundary value problems, and stability analysis. 5332. Partial Differential Equations I (3:3:0). Prerequisite: MATH 4351, 4354, or consent of instructor. Topics include first order equations, method of characteristics, parabolic, hyperbolic and elliptic equations, variational and Hilbert space methods. 5334, 5335. Numerical Analysis I, II (3:3:0 each). Prerequisite: MATH 5316 or equivalent. Stability and error analysis, numerical solution of ordinary and partial differential equations, integral equations. 5340, 5341. Functional Analysis I, II (3:3:0 each). Prerequisite: MATH 5322. Hilbert and Banach space theory, linear operator theory, the closed graph theorem, the open mapping theorem, the principle of uniform boundedness, linear functionals, dual spaces and weak topologies, distribution theory, topological vector spaces, spectral theory of compact and unbounded self-adjoint and unitary operators, and semigroup theory. 5342, 5343. Advanced Topics in Analysis I, II (3:3:0 each). Prerequisite: Consent of instructor. Current topics in analysis. May be repeated for credit. 5344, 5345. Topics in Numerical Analysis I, II (3:3:0 each). Prerequisite: MATH 5335. Current advanced topics in numerical analysis, research work using computers. May be repeated for credit. 5346. Advanced Topics in Applied Mathematics I (3:3:0). Prerequisite: Consent of instructor. Current topics in applied mathematics. May be repeated for credit. 5347. Advanced Topics in Control Theory (3:3:0). Prerequisite: Consent of instructor. H theory of linear and non-linear systems, stochastic control, geometric theory of non-linear systems, distributed parameter control systems, and computational methods in control. 5354. Biomathematics I (3:3:0). Prerequisite: Differential equations and linear algebra or consent of instructor. Qualitative and quantitative behavior of deterministic biological models are studied. 5355. Biomathematics II (3:3:0). Prerequisite: Statistics, differential equations, and linear algebra or consent of instructor. Qualitative and quantitative behavior of stochastic biological models are studied. 5356. Topics in Biomathematics (3:3:0). Prerequisite: Biomathematics II or consent of instructor. Current topics in biomathematics are studied such as biomechanics, mathematical epidemiology, mathematical neurology, mathematical opthalmology, and image processing. May be repeated for credit. 5360, 5361. Advanced Mathematics for Teachers I, II (3:3:0 each). Prerequisite: Consent of instructor. Selected topics in mathematics. May be repeated for credit. 5362. Theory of Numbers (3:3:0). Prerequisite: MATH 4362. Diophantine equations, binary quadratic forms, algebraic numbers, theory of number-theoretic functions, partitions, the prime number theorem. 5364, 5365. Computer Literacy and Programming I, II (3:3:0 each). Development of computer literacy and programming ability, algorithms and data structures, and recursion. 5382, 5383. Advanced Probability I, II (3:3:0 each). Prerequisite: MATH 5319 or consent of instructor. Measure and integration, axiomatic foundations of probability theory, random variables, distributions and their characteristic functions, stable and infinitely divisible laws, limit theorems for sums of independent random variables, conditioning, Martingales. 5399. Advanced Problems (3). Prerequisite: Graduate standing in mathematics. May be repeated for credit. 6000 Level Courses6000. Master's Thesis (V1-6). 6310. Master's Report (3). 7000 Level Courses7000. Research (V1-12). 8000 Level Courses8000. Doctor's Dissertation (V1-12).
Computer Science (C S)
Click here for an explanation of how to read course offerings. Click here for A-Z course descriptions list. 1000 Level Courses1300 [COSC 1301]. Computers and Modern Society (3:2:2). Survey of computers, their uses, and their impact on society. Brief introduction to computer programming and the use of word processor, spreadsheet, and data base application software. Credit may not be applied toward a computer science major or minor. 1303. Programming Language Proficiency in C/C++ (3:2:2). Prerequisite: MATH 1320 and computer literacy. The course will focus on basic programming skills in the C/C++ language. This course cannot be used for a C S major or minor. 1382. Discrete Computational Structures (3:3:0). Prerequisite: C S 1411. Sets, functions, counting principles, basic probability, logic, proof methods, and graphs. 1405. Introduction to Computer Science (4:3:3). Prerequisite; MATH 1350 or 1550 or equivalent. Procedural programming in C++. Discipline of computer science; analysis, design, implementation, debugging, and testing of software; computer ethics. Introduction to field for majors. 1411. Programming Principles I (4:3:3). Prerequisite: Department approval. Procedural programming. Discipline of computer science; analysis, design, implementation, debugging, and testing of software. Introduction to field for majors. 1412. Programming Principles II (4:3:3). Prerequisite: C S 1411. Object-oriented programming with emphasis on evaluation of alternative program design strategies. Class design, recursion, linked, and dynamically allocated structures. 2000 Level Courses2350 [COSC 2319, 2325, 2419, 2425]. Computer Organization and Assembly Language Programming (3:3:0). Prerequisite: C S 1412, E E 2372. Introduction to the organization of single-processor computer systems via Assembly Language. Topics addressed include basic concepts of computer architecture and organization, assembly programming, interfacing assembly with High Level Languages, sub-procedures and macros, I/O devices, interrupts, and multitasking issues. 2371. Introduction to Digital Design (3:3:0). Prerequisite: PHYS 2301. Logic and computer design fundamentals, including design of combinational and sequential logic circuits, memory systems, I/O devices, and register transfer logic. 2413. Data Structures (4:3:3). Prerequisite: CS 1412. Comparative study of the interaction of data and procedural abstractions. Data structures, lists, stacks, queues, trees, graphs. Algorithms: searching, sorting, parsing, hashing, graph traversals. 3000 Level Courses3352. Introduction to Systems Programming (3:3:0). Prerequisite: C S 2350, C S 2413. Introduction to system software including assemblers, linkers, loaders, and compilers. Other topics addressed include design of utility and networking software, shell programming, and script languages. 3361. Concepts of Programming Languages (3:3:0). Prerequisite: C S 2413. Study of programming language design. The investigation and comparison of different programming language paradigms. 3364. Design and Analysis of Algorithms (3:3:0). Prerequisite: C S 2413, 2382 and MATH 2360. A theoretical course focusing on the design and analysis of computer algorithms. 3365. Software Engineering (3:3:0). Prerequisite: C S 2413, MATH 3342, or equivalent. Software engineering theory and practice. A semester-long software engineering project is designed and implemented by the class, acting as a large team. 3368. Introduction to Artificial Intelligence (3:3:0). Prerequisite: C S 1382. This course provides introduction to theory, design, and implementation of intelligent systems. 3371. Embedded Systems Design (3:3:0). Prerequisite: C S 2350. Design of special purpose embedded processor-based systems. Evaluation of software and hardware tradeoffs for cost effective solutions. 3375. Computer Architecture (3:3:0). Prerequisite: C S 2350. Introduction to the functional components of computer systems; their hardware implementation and management at different levels; their interaction, characteristics, and performance as well as their practical implications for computer programming. 3383. Theory of Automata (3:3:0). Prerequisite: C S 1382. The relationship between language, grammars, and automata. Deterministic and nondeterministic machines. Pushdown automata and Turing machines. Limits of computability. 4000 Level Courses4000. Special Topics in Computer Science (V1-6). Prerequisite: Advanced standing and departmental approval. Individual studies in computer science areas of special areas. May be repeated for credit. 4311. Senior Project Design (3:3:0). Prerequisite: C S 3365, 3364, COMS 3358 or PETR 3308, and 12 additional hours of upper-division computer science course work and senior standing. For majors only. Further study of software engineering, theory, and practice. Projects are formulated, formally proposed, and tested. Formal project presentations will be made upon completion. (Writing Intensive) 4312. Senior Project Implementation Laboratory (3:0:9). Prerequisite: CS 4311. Students will complete the projects begun in CS 4311. Acceptance testing of projects will be performed by the customer. Formal project presentations will be made upon completion. (Writing Intensive) 4328. Scientific Computing (3:3:0). Prerequisite: C S 3375 and MATH 2350. Numerical techniques for interpolation, integration, and the solution of systems of algebraic and differential equations with special emphasis on hardware limitations. 4354. Concepts of Database Systems (3:3:0). Prerequisite: CS 3364. Overview of a database system and its components; physical organization of data; data models; relational databases; and query processing. 4379. Parallel and Concurrent Programming (3:3:0). Prerequisite: C S 3352, C S 3364. Introduction to multi-threaded programming, data parallelisms, and message passing techniques. Topics include concurrent and parallel execution environments, user-programmed parallelism, and compiler-based parallelism. Applications addressed involve numerical algorithms familiar to senior-level students. 4391. Special Topics in A I (3:3:0). Prerequisite: Senior standing. In-depth treatment of one or more topics in artificial intelligence. Such topics include robotics, knowledge representation, or automated reasoning. 4392. Computer Networks (3:3:0). Prerequisite: C S 3352. Digital transmission fundamentals, local area networks, network protocols, and common Internet applications. 4395. Introduction to Computer Graphics (3:3:0). Prerequisite: C S 3364. Focus on basic principles and methods for designing, implementing, and applying graphics packages. Methods for manipulating and displaying two- and three-dimensional objects. Selected readings in current graphics literature and a major project are required. 4397. Computer Game Design and Development (3:3;0). Prerequisite; C S 3364. Underlying science, technology, and art or computer games. Specific topics include design planning, interactive graphics, autonomous agents, multi-user interaction, and game engine construction. 5000 Level Courses5000. Practicum of Computing (V1-3). Industrial training in an approved field of graduate studies. Can be used only as an additional requirement on degree program. 5301, 5302. Foundations of Computer Science I, II (3:3:0 each). Prerequisite: Programming proficiency. An accelerated survey of computer science. Computer organization, high level and assembler languages, job control, software design, data structures, file organization, machines, and formal languages. These courses are for leveling purposes and cannot be applied towards course requirements of any C S graduate degree. 5303. Foundations of Computer Engineering (3:3:0). An accelerated introduction to the fundamentals of computer engineering for students without a computer hardware background. Boolean algebra, digital logic, digital devices and functions, digital system design, computer architecture. These courses are for leveling purposes and cannot be applied towards course requirements of any C S graduate degree. 5320. Principles of Computer Graphics (3:3:0). Techniques and methods for creating realistic images using graphic programming languages. Topics include visible surface determination rendering, surface modeling, and particle systems. 5321. Virtual Reality Fundamentals (3:3:0). The course will cover fundamental principles of virtual reality and development of future virtual reality applications. 5323. Computer Haptics (3:3;0). This course will provide a unified and complete background for the novel force-tactile feedback technology and its use in virtual reality simulations. 5328. Scientific Computing (3:3:0). This course provides an overview of numerical methods that are essential to computing. Topics include matrix computations, statistical methods, numerical integration, and multiresolution methods. 5331. Special Problems in Computer Science (3). Individual studies in advanced computer science and technology. 5332. Special Topics in Software Engineering (3:3:0). Prerequisite: Consent of instructor. Studies in advanced software engineering. 5341. Pattern Recognition (3:3:0). Traditional and current approaches to the general problem of recognizing patterns in images, signals, and other domains. Includes Bayes decision theory, supervised learning, and nonparametric techniques. 5352. Advanced Operating Systems Design (3:3:0). Prerequisite: C S 3352 and 3364, equivalent, or consent of instructor. Topics on distributed operating systems, such as synchronization, communication, file systems, and memory sharing are discussed. Several programming projects are implemented. 5353. Compiler Construction (3:3:0). Prerequisite: C S 3364, equivalent, or instructor consent. Implementation aspects of compiler construction, automata for formal grammar, semantics of procedural languages, automatic generation of parser, and assembly code generation. A prototype of a compiler is developed. 5355. Real Time and Time Sharing Systems (3:3:0). Prerequisite: C S 3365, 3352, equivalent, or consent of instructor. Study of the functional needs in real time and time sharing systems. Basic techniques and display concepts, random-access fields, computer networks, simultaneous operations, multiprogramming, and multiprocessing. 5356. Advanced Database Management Systems (3:3:0). Prerequisite: C S 3364, equivalent, or consent of instructor. Systems aspects of relational databases are emphasized. Topics include relational database design, index and access structures implementation and performance evaluation, query processing and optimization, transaction management, and concurrency control. 5357. Multimedia Systems (3:3:0). Prerequisite: C S 3364, equivalent or consent of instructor. Multimedia digital audio processing; image and video data compression; and processing for multimedia presentations. Time-based media representation and synchronization; multimedia communication systems; and hypertext and programming. 5358. Software Studio I (3:3:0). Prerequisite: C S 3365, equivalent, or consent of instructor. Capstone design and implementation experience of a major software project applying comprehensive software engineering techniques. 5359. Software Studio II (3:3:0). Prerequisite: C S 5358. A continuation of software engineering projects begun in C S 5358. 5361. Theory of Computing Languages (3:3:0). General language theory with emphasis on computing languages. Chomsky typology, syntactical and semantic specifications. Current research on translation of natural language instructions to machine instructions. 5362. Software Specification and Design (3:3:0). Prerequisite: C S 3365, equivalent, or consent of instructor. Explores the nature of software development showing how analysis and design impact software construction and evolution. Topics include requirements analysis, architectural design, detailed design, software construction, and software evolution. 5363. Software Project Management (3:3:0). Prerequisite: C S 3365, equivalent, or consent of instructor. Explores the principles of software project management and their effective application. Topics include project, risk, process, and resource management and improvement techniques. 5364. Software Quality Assurance and Testing (3:3:0). Prerequisite: C S 3365, equivalent, or consent of instructor. In-depth study of methods and techniques in software quality assurance and testing. Topics include software total quality management, software metrics, unit testing, and integration testing. 5365. Principles of Multiple-Processor Systems (3:3:0). Prerequisite: C S 3375, equivalent, or consent of instructor. Comprehensive introduction to the field of parallel and distributed computing systems. Algorithms, architectures, networks, systems. Theory and applications. 5368. Intelligent Systems (3:3:0). Prerequisite: C S 3364 or consent of instructor. Comprehensive introduction to the field of artificially intelligent computer based systems. Theory and applications in artificial intelligence. 5369. Web-based Software Systems (3:3:0). Prerequisite: C S 3365, equivalent, or consent of instructor. In-depth study of how to engineer Web-based software systems. Topics include process, development, testing, and performance issues. 5375. Computer Systems Organization and Architecture (3:3:0). Prerequisite: C S 3375 or consent of instructor. Introduction to the architecture, organization, and design of computer systems. Topics include processor, control and memory design, computer arithmetic, I/O, and a brief introduction to multiprocessors. 5376. Communication Networks (3:3:0). Networks in the context of parallel and distributed systems. Information theory applied to networks. Network topology. Problems and approaches in design, development, and management of communications networks. 5377. Distributed Computing (3:3:0). Prerequisite: C S 4352, equivalent, or consent of instructor. Introduction to distributed systems. Topics include communications, distributed operating systems, fault-tolerance, and performance issues. Case studies and term projects supplement this course. 5379. Parallel Processing (3:3:0).. Prerequisite: C S 3364 and 3375 or consent of instructor. Introduction to parallel processing in theory, performance evaluation of parallel machine-algorithm ensemble, parallelization techniques of sequential codes, parallel algorithm design, and parallel API. 5380. Fault-Tolerant Computer Systems (3:3:0). Prerequisite: C S 3375 and I E 3341, equivalent, or consent of instructor. Introductory course to methodologies for specifying, designing, and modeling fault-tolerant computer systems. Includes fault classification, design techniques for fault detection and recovery, and reliability modeling techniques. 5381. Analysis of Algorithms (3:3:0). Prerequisite: C S 3364 or equivalent. Theoretical analysis of algorithms for sorting, searching, sets, matrices, etc.; designing efficient algorithms for data structures, recursion, divide-and-conquer, dynamic programming; nondeterminism, NP-completeness and approximation algorithms. 5383. Theory of Automata (3:3:0). Prerequisite: C S 3383, equivalent, or consent of instructor. Structured grammars, relation between grammars and automata, deterministic, and nondeterministic finite automata, push-down store, and linear-bounded automata, and Turing machines. 5384. Logic for Computer Scientists (3:3:0). An introduction to mathematical logic. The course includes proofs of several basic theorems and discusses the application of logic to different areas of computer science. 5388. Neural Networks (3:3:0). Neural network theory, models, and implementation. Applications to real-time systems, robotics, pattern recognition, computer vision, and event driven systems. 5391. A I Robotics (3:3:0). Programming of artificially intelligent robots. Topics include sensing, navigation, path planning, and navigating with uncertainty. 5392. Reinforcement Learning (3:3:0). Introduction to reinforcement learning and Markov decision processes and their applications for making optimal decisions. 6000 Level Courses6000. Master's Thesis (V1-6). 7000 Level Courses7000. Research (V1-12). 8000 Level Courses8000. Doctor's Dissertation (V1-12).
4/10/2006 关于傅立叶级数的推导过程buptds 发帖时间 2005年11月07日 11时03分
请大侠们先看看下面这段话：
“我们可以看看中值定理提出者德生卒年，这样可以给我们重要的启示。
（依照逻辑顺序排列） 1 费马定理 Fermat 1601-1665 2 罗尔定理 Rolle 1652-1719（标准教科书证明利用了费马定理） 3 拉各朗日 1736-1813（证明利用了罗尔定理） 4 柯西 1789－1857（证明利用了拉各朗日 定理） 5 落笔大 1661－1704（证明利用了柯西定理） 6 泰勒 1685－1731（证明利用了柯西定理） 现在我们能够看到明确的问题了!
1、 从罗尔定理到拉各朗日几乎用了50 年以上的时间（由于缺乏详细的史料，
我们自能根据生卒年大致分析），从拉各朗日到柯西也大概用了50 年时间。 启发：我们往往惊叹于数学教材的严密和体系宏伟，但是事实证明，就是这 几个中值定理，就花了人类100 年的时间（请考虑世界上研究数学的人的数 目），我们所看到的逻辑严谨，周密都不过是对历史整理后的假相。 2 、落笔大，泰勒出生都比柯西早100 年，何以他们提出的中值定理的证明
却利用了未出生的人的定理呢？ 对这个问题，我们可以肯定的是：泰勒的原始证明，落笔大的原始论证都没 有用到柯西定理！！而现在我们所看到的证明是数学史家在对历史进行梳理 后的产物！” 我的问题是：
傅立叶级数是一个应用超级广泛的内容，可是当前我们看到的推导过程， 往往是直接引入三角函数正交，然后直接说周期函数可以展开为三角级数， 然后直接给出a0等于常数，an等于那个积分，bn等于那个积分，丝毫没有看出 这个过程的来源，也就不知道为什么会想到将其如此展开。难道这些家伙就这 么聪明？他们怎么晓得这么搞？这很可能也“不过是对历史整理后的假相” 我后来才知道，“傅立叶之制造三角级数是从研究偏微分方程起步的，在
那种特殊的背景下，相对还是比较自然的”如果谁知道这样对于傅立叶级数、傅 立叶变换推导的历史，给出“相对比较自然”的过程，我不胜感激！ ------------------------------------------------------------------------------
颠覆主流文化 发帖时间 2005年11月08日 00时08分 我不知道历史上的自然的过程 但我本人有一个比较自然的过程 考虑一个向量f(x) x从0到N-1取整数 所以称之为向量 有这样一个式子:(我在编辑公式时遇到点麻烦只能用下面这种麻烦的形式了) f(x)=g(0)exp(-i*0*x)+g(1)exp(-i*1*x)+....+g(N-1)exp(-i*(N-1)*x) 其中g(k)=(1/N)(f(0)exp(i*k*0)+f(1)exp(i*k*1)+....+f(N-1)exp(-i*k*(N-1))) 可以看到这和傅立叶级数有点相象,可以称为离散傅立叶变换,只作用于有限个点而不是函数 其证明不用任何分析的知识,只需一点线性代数当然不用也可,也没有那烦人的收敛的问题 不知你学了线性代数没 考虑矩阵A 其元素A(k,x)=exp(ikx) k和x都从0到N-1 令B为其转置共轭 x为一向量 有:BAx=Nx 这一点很容易验证 将其用求和形式表达出来就是上面那个式子 那个式子很有点意思 我用它证明了: (sin(pi/N))^(-2)+(sin(2pi/N))^(-2)+(sin(3pi/N))^(-2)+....+(sin((N-1)pi/N))^(-2) =(N*N-1)/3 进一步可以之证明:1+1/4+1/9+1/16+.....=pi*pi/6 当然这些不必在意,你说的是傅立叶级数 注意当x取越来越多的点,N趋于无穷,上面那个式子的极限形式就是傅立叶级数 当然这个过程不是那么显然,你可以用一些具体的东西算一下 从上面那个式子到傅立叶级数是一个自然的从离散到连续的过程 顺便说一下,上面那个所谓的傅立叶级数在固体物理中会用到 你是我看到的第一个对"自然"这个问题感兴趣的人,感动臆
那些外国老头子研究出些什么东西不太重要,我更想知道,或者是你更想知道,他们是怎样想的,他们的那个 "自然"的过程 我的邮箱地址 ercjd@126.com ------- The purpose of computing is insight, not numbers. ---------------------------------------------------------------------------------
小红帽 发帖时间 2005年11月10日 08时07分
实际上，大家对当前的高等数学教学提出了问题。即真正的教学应该重视知识的原始发现过程，并且重视发现该知识时所用的科学思想方法。而这种教学即为研究式教学。这种教学主张追踪科学大师们的足迹，遵循他们的思维脉络，发掘他们发现知识的原始过程，并且在今天的水准上展现出来（注意：不是简单重复，也不是讲述科学发展史）。这样的教学具有示范和潜移默化的作用，对于激发学生的创新热情和提高学生的创新能力有十分重要的影响，甚至会影响人的一生。 可视我们现在众多的教学都淹没了创造和发现知识的过程，是不完全的教学，参考书也是应试型的，确实需要改进。我们每个教育工作者应努力为之。 -------------------------------------------------------------------------------------- Smille 发帖时间 2005年11月07日 12时43分
<古今数学思想>第三卷第28章第2小节"热方程与Fourier级数" 3/11/2006 数学学科名称翻译数学分析 Mathematical Analysis
实变函数 Functions of Real Variable 泛函分析 Functional Analysis 极限分析 Limit Analysis 复变函数 Complex Variables Functions 线性代数 Linear Algebra
高等代数 Advanced Algebra 近世代数 Modern Algebra 抽象代数 Abstract Algebra 集合论与代数结构 Set Theory & Algebraical Structure 常微分方程 Ordinary Differentical Equations
偏微分方程 Partial Differential Equation 偏微分方程数值解 Numerical Solution of Partial Differential Equation 微分方程 Differential Equation 微分方程数值解 Numerical solution of partial defferential equatio 数理方程 Mathematical Equations 数理方程积分变换 Integral Transmission of Mathematical Equation 数理方程与特殊函数 Equations of Mathmatical Physics & Special Functions 变分法与张量 Calculus of Variations & Tensor 变分学 Calculus of Variations 概率论 Probability Theory
概率与统计 Probability & Statistics 概率论与数理统计 Probability Theory & Mathematical Statistics 概率论与随机过程 Probability Theory & Stochastic Process 随机过程 Stochastic Process & Time Series Analysis 时间序列 Time Sequence 统计学 Statistics 多元统计分析 Multi-Variate Statistical Analysis 解析几何 Analytic Geometry
微分几何 Defferential Geometry 拓朴学 Topology 计算方法 Computational Method
数值分析 Numerical Analysis 数值计算 Digital Computation 计算力学 Computational Mechanics 计算力学基础 Basis of Computational Mechanics 计算流体 Fluid Computation 有限元法及应用 Finite Element & its Application 并行算法 Parallel Algorithmic 运筹学 Operational Research
最优化 Optimum Theory 最优化方法 Optimal Method 最优化基础 Basis of Optimum 数学规划 Mathematical Planning 线性规划 Linear Programming 非线性规划 Non-Linear Programming 动态规划 Dynamic Programming 数学模型 Mathematical Modening 多目标优化方法 Multipurpose Optimal Method 图论 Graph Theory 图论算法 Algorithm on Graph Theory 图论与组合 Graphing & Grouping 图论与组合优化 Graphing & Optimal Grouping 随机运筹学 Randomized Operational Research 控制理论 Theory of Control
控制理论基础 Elementary Theory of Control 线性系统与分析 Linear System & Analysis 系统建模与响应 System Modeling & Response 人工智能 Artificial Intelligence 最优控制 Optimal Control 信息论 Informatics
信息论与编码 Informatics & Coding 数理逻辑 Mathematical Logic 离散数学 Discrete Mathematics 模糊数学 Fu Mathematics C语言 C Language C++程序设计 C++ Program Designing 12/15/2005 逻辑·海盗问题数学的逻辑有时会导致看来十分怪异的结论。一般的规则是，如果逻辑推理没有漏洞，那么结论就必定站得住脚，即使它与你的直觉矛盾。 1998年9月，加利福尼亚州帕洛阿尔托的Stephen M. Omohundro寄给我一道难题，它恰好就属于这一类。这难题已经流传了至少十年，但是Omohundro对它作了改动，使它的逻辑问题变得分外复杂了。 先来看看此难题原先的形状。10名海盗抢得了窖藏的100块金子，并打算瓜分这些战利品。这是一些讲民主的海盗（当然是他们自己特有的民主），他们的习惯是按下面的方式进行分配：最厉害的一名海盗提出分配方案，然后所有的海盗（包括提出方案者本人）就此方案进行表决。如果50%或更多的海盗赞同此方案，此方案就获得通过并据此分配战利品。否则提出方案的海盗将被扔到海里，然后下提名最厉害的海盗又重复上述过程。 所有的海盗都乐于看到他们的一位同伙被扔进海里，不过，如果让他们选择的话，他们还是宁可得一笔现金。他们当然也不愿意自己被扔到海里。所有的海盗都是有理性的，而且知道其他的海盗也是有理性的。此外，没有两名海盗是同等厉害的——这些海盗按照完全由上到下的等级排好了座次，并且每个人都清楚自己和其他所有人的等级。这些金块不能再分，也不允许几名海盗共有金块，因为任何海盗都不相信他的同伙会遵守关于共享金块的安排。这是一伙每人都只为自己打算的海盗。最凶的一名海盗应当提出什么样的分配方案才能使他获得最多的金子呢？ 为方便起见，我们按照这些海盗的怯懦程度来给他们编号。最怯懦的海盗为1号海盗，次怯懦的海盗为2号海盗，如此类推。这样最厉害的海盗就应当得到最大的编号，而方案的提出就将倒过来从上至下地进行。 分析所有这类策略游戏的奥妙就在于应当从结尾出发倒推回去。游戏结束时，你容易知道何种决策有利而何种决策不利。确定了这一点后，你就可以把它用到倒数第2次决策上，如此类推。如果从游戏的开头出发进行分析，那是走不了多远的。其原因在于，所有的战略决策都是要确定：“如果我这样做，那么下一个人会怎样做？” 因此在你以下海盗所做的决定对你来说是重要的，而在你之前的海盗所做的决定并不重要，因为你反正对这些决定也无能为力了。 记住了这一点，就可以知道我们的出发点应当是游戏进行到只剩两名海盗——即1号和2号——的时候。这时最厉害的海盗是2号，而他的最佳分配方案是一目了然的：100块金子全归他一人所有，1号海盗什么也得不到。由于他自己肯定为这个方案投赞成票，这样就占了总数的50%，因此方案获得通过。 现在加上3号海盗。1号海盗知道，如果3号的方案被否决，那么最后将只剩2个海盗，而1号将肯定一无所获——此外，3号也明白1号了解这一形势。因此，只要3号的分配方案给1号一点甜头使他不至于空手而归，那么不论3号提出什么样的分配方案，1号都将投赞成票。因此3号需要分出尽可能少的一点金子来贿赂1号海盗，这样就有了下面的分配方案： 3号海盗分得99块金子，2号海盗一无所获，1号海盗得1块金子。 4号海盗的策略也差不多。他需要有50%的支持票，因此同3号一样也需再找一人做同党。他可以给同党的最低贿赂是1块金子，而他可以用这块金子来收买 2号海盗。因为如果4号被否决而3号得以通过，则2号将一文不名。因此，4号的分配方案应是：99块金子归自己，3号一块也得不到，2号得1块金子，1号也是一块也得不到。 5号海盗的策略稍有不同。他需要收买另两名海盗，因此至少得用2块金子来贿赂，才能使自己的方案得到采纳。他的分配方案应该是：98块金子归自己，1块金子给3号，1块金子给1号。 这一分析过程可以照着上述思路继续进行下去。每个分配方案都是唯一确定的，它可以使提出该方案的海盗获得尽可能多的金子，同时又保证该方案肯定能通过。照这一模式进行下去，10号海盗提出的方案将是96块金子归他所有，其他编号为偶数的海盗各得1块金子，而编号为奇数的海盗则什么也得不到。这就解决了10名海盗的分配难题。 Omohundro的贡献是他把这一问题扩大到有500名海盗的情形，即500名海盗瓜分100块金子。显然，类似的规律依然成立——至少是在一定范围内成立。事实上，前面所述的规律直到第200号海盗都成立。 200号海盗的方案将是：从1到199号的所有奇数号的海盗都将一无所获，而从2到198号的所有偶数号海盗将各得1块金子，剩下的1块金子归200号海盗自己所有。 乍看起来，这一论证方法到200号之后将不再适用了，因为201号拿不出更多的金子来收买其他海盗。但是即使分不到金子，201号至少还希望自己不会被扔进海里，因此他可以这样分配：给1到199号的所有奇数号海盗每人1块金子，自己一块也不要。 202号海盗同样别无选择，只能一块金子都不要了——他必须把这100块金子全部用来收买100名海盗，而且这100名海盗还必须是那些按照201号方案将一无所获的人。由于这样的海盗有101名，因此202号的方案将不再是唯一的——贿赂方案有101种。 203号海盗必须获得102张赞成票，但他显然没有足够的金子去收买101名同伙。因此，无论提出什么样的分配方案，他都注定会被扔到海里去喂鱼。不过，尽管203号命中注定死路一条，但并不是说他在游戏进程中不起任何作用。相反，204号现在知道，203号为了能保住性命，就必须避免由他自己来提出分配方案这么一种局面，所以无论204号海盗提出什么样的方案，203号都一定会投赞成票。这样204号海盗总算侥幸拣到一条命：他可以得到他自己的1 票、203号的1票、以及另外100名收买的海盗的赞成票，刚好达到保命所需的50%。获得金子的海盗，必属于根据202号方案肯定将一无所获的那101 名海盗之列。 205号海盗的命运又如何呢？他可没有这样走运了。他不能指望203号和204号支持他的方案，因为如果他们投票反对205号方案，就可以幸灾乐祸地看到205号被扔到海里去喂鱼，而他们自己的性命却仍然能够保全。这样，无论205号海盗提出什么方案都必死无疑。206号海盗也是如此——他肯定可以得到205号的支持，但这不足以救他一命。类似地，207号海盗需要104张赞成票——除了他收买的100张赞成票以及他自己的1张赞成票之外，他还需3张赞成票才能免于一死。他可以获得205号和206号的支持，但还差一张票却是无论如何也弄不到了，因此207号海盗的命运也是下海喂鱼。 208号又时来运转了。他需要104张赞成票，而205、206、207号都会支持他，加上他自己一票及收买的100票，他得以过关保命。获得他贿赂的必属于那些根据204号方案肯定将一无所获的人（候选人包括2到200号中所有偶数号的海盗、以及201、203、204号）。 现在可以看出一条新的、此后将一直有效的规律：那些方案能过关的海盗（他们的分配方案全都是把金子用来收买100名同伙而自己一点都得不到）相隔的距离越来越远，而在他们之间的海盗则无论提什么样的方案都会被扔进海里——因此为了保命，他们必会投票支持比他们厉害的海盗提出的任何分配方案。得以避免葬身鱼腹的海盗包括201、202、204、208、216、232、264、328、456号，即其号码等于200加2的某一方幂的海盗。 现在我们来看看哪些海盗是获得贿赂的幸运儿。分配贿赂的方法是不唯一的，其中一种方法是让201号海盗把贿赂分给1到199号的所有奇数编号的海盗，让202号分给2到200号的所有偶数编号的海盗，然后是让204号贿赂奇数编号的海盗，208号贿赂偶数编号的海盗，如此类推，也就是轮流贿赂奇数编号和偶数编号的海盗。 结论是：当500名海盗运用最优策略来瓜分金子时，头44名海盗必死无疑，而456号海盗则给从1到199号中所有奇数编号的海盗每人分1块金子，问题就解决了。由于这些海盗所实行的那种民主制度，他们的事情就搞成了最厉害的一批海盗多半都是下海喂鱼，不过有时他们也会觉得自己很幸运——虽然分不到抢来的金子，但总可以免于一死。只有最怯懦的200名海盗有可能分得一份脏物，而他们之中又只有一半的人能真正得到一块金子，的确是怯懦者继承财富。 12/4/2005 给那些喜欢数学和不喜欢数学的人们发信人: ukim (我没有理想), 信区: Mathematics
标 题: 从今天开始连载数学家们的故事. 发信站: 北大未名站 (2002年04月06日14:20:15 星期六), 转信 ----------------------------------------
给那些喜欢数学和不喜欢数学的人们 给那些了解数学家和不了解数学家的人们。 ---------------------------------------- 在北大混了四年，一事无成；在未名上也呆了快一年了，制造了几千篇的垃圾。
要毕业的人想法总是奇怪的，譬如说竟然真的要正经的写几篇文章了。最初写
成这些东西的时候，我发给了几个朋友，一个学数学的师弟说他很感动，一个
非数学系的mm说他后悔当初没有选数学系，无论怎样，他们能这样子讲，我很
感动，这是发自内心的那种。现在的打算是每天贴2-3个故事，一直到欧毕业
那天。很多事情难免有些too old,这个我也没有办法，激动人心的事情毕竟只
有那么多。
不多说了，真心的希望大家会喜欢，哪怕只有一点点的喜欢。这些文字偶给了一 个名字，叫做 偶心目中的英雄---Heroes in My Heart
---------------------------------
序
废话几句。
多年以前，我有一个很宏伟的计划，打算写一本厚厚的书。这本书有三部，第一部写那
些数学牛人们的传奇动人荒诞不经的轶事，第二部充满着历史上最最经典的定理最最美 妙的证明，第三部去真实的纪录北大数学的这群烂人，写他们那脏乱的宿舍和芜杂的生 活。这一直是一个理想，直到我动手写这些文字的时候，我知道，这将永远是一个美好 的梦。所以，这里只是那个计划的一小部分，讲述的是那些虔诚的人做过的虔诚的事。 第一次因为数学感动，是听到大人们讲华罗庚先生的故事，不知道那时候多大，隐约记
得他们说华先生去苏联算一个卫星的东西，怕他们把自己的算法偷去，于是所有的东西 都是心算。故事的真实性自然不可信，不过这很让小孩子神往。我要讲述的也是这么一 些事情，很多都是高中和大一大二读过的，那是一段美妙的时光。美妙的东西希望大家 一起分享，与人乐乐。 最后，按照写序的一般格式，我来感谢一下应该感谢的人们。感谢knots陪我一起扭伤脚
腕一起看遍好莱坞的美女，感谢hyson和我一起用两块八的牛奶煮面，感谢alpha和我两 次同居在那简陋的破屋里冻得瑟瑟 发抖，感谢doudoulf那银玲般的笑声，感谢justinlee, mashimaro, aixuexi, transfe rrer和luk在每一个漆黑的夜晚大家共同进行着富有想象力的意淫。是他们的存在，回忆 这个词才有了色彩。 ukim
2002 – 4 – 1 Bernoulli 家族 (1)
Euler停止了生命，也就停止了计算。
——de Condorcet 这是一个生产数学家和物理学家的部落，有着十几位优秀的科学家都拥有这个令人骄傲 的姓氏。 1．
John Bernoulli在1696年把最速降线问题在一个叫做《教师学报》的杂志上面提出，公 开挑战主要是针对他的哥哥Jacobi.Bernoulli,这两个人在学术让一直相互不忿，据说当 年John求悬链线的方程，熬了一夜就搞定了，Jacobi做了一年还认为悬链线应该是抛物 线，实在是很没面子。那个杂志好像是Leibniz搞得，很牛，欧洲的牛人们都来做这个东 西。到最后，Jhon收的了5份答案，有他自己的，Leibniz的,还有一个L.Hospital侯爵的 （我们比较喜欢的那个L.Hospital法则好像是他雇人做的，是个有钱人）然后是他哥哥 Jacobi的，最后一份是盖着英国邮戳的，必然是Newton的，John自己说“我从它的利爪 上认出了这头狮子．”据说当年Newton从造币厂回去，看到了Bernoulli的题，感觉浑身 不爽，熬夜到凌晨4点，就搞定了。这么多解答当中，John的应该是最漂亮的，类比了F ermat原理，用光学一下做了出来。但是从影响来说，Jacobi的做法真正体现了变分思想 。 2．
Bernoulli一家在欧洲享有盛誉，有一个传说，讲的是Daniel Bernoulli（他是John Be rnoulli的儿子）有一次正在做穿过欧洲的旅行，他与一个陌生人聊天，他很谦虚的自我 介绍：“我是Daniel Bernoullis。"那个人当时就怒了，说：“我是还是Issac Newton 呢。”Daniel从此之后在很多的场合深情的回忆起这一次经历把他当作他曾经听过的最 衷心的赞扬。 Bernoulli家族 （2）
3．
John & Jacobi这两个Bernoulli人，都算不出来自然数倒数的平方和这个级数，Euler从 他老师John那里知道的，并且给出了π2/6这个正确的答案。 4．
法国有一个哲学家，叫做Denis Diderot，中文的名字叫做狄德罗，是个无神论者，这个 让叶卡捷琳娜女皇不爽，于是他请Euler来教育一下Diderot，其实Euler本来是弄神学的 ，他老爸就是的，后来是好几个叫Bernoulli的去劝他父亲，才让Euler做数学了。Eule r邀请Diderot来了皇宫，他这次的工作是证明上帝的存在性，然后，在众人面前说：“ 先生，( a + bn ) / n = x, 因此上帝存在；请回答!”Diderot自然不懂代数，于是被 羞辱，显然他面对的是欧洲最伟大的数学家，他不得不离开圣彼得堡，回到了巴黎…… 四色定理 证明是一个偶像，数学家在这个偶像前折磨自己。
——A.Eddington 1． 一次拓扑课，Minkowski向学生们自负的宣称：“这个定理没有证明的最要的原因是至今 只有一些三流的数学家在这上面花过时间。下面我就来证明它。”…….这节课结束的时 候，没有证完，到下一次课的时候，Minkowski继续证明，一直几个星期过去了……一个 阴霾的早上，Minkowski跨入教室，那时候，恰好一道闪电划过长空，雷声震耳，Minko wski很严肃的说：“上天被我的骄傲激怒了，我的证明是不完全的……" 2．
1942年的时候，Lefschetz去Havard做了个报告，Birkhoff是他的好朋友，讲座结束之后 ，就问他最近在Princeton有没有什么有意思的东西。Lefschetz说有一个人刚刚证明了 四色猜想。Birkhoff严重的不相信，说要是这是真的，就用手和膝盖，直接爬到Prince ton的Fine Hall去。 做数论的人 (1)
从实用的观点来判断，我的数学生涯的价值等于零。
——Hardy 1． Lev Landau这位俄国最伟大的物理学家惊叹道：“为什么素数要相加呢？素数是用来相 乘而不是相加的。”据说这是Landau看了Goldbach(哥德巴赫)猜想之后的感觉。 术业有专攻呀...... 2．
Graham说：“我知道一数论学家，他仅在素数的日子和妻子同房：在月初，这是挺不错 的，2，3，5，7；但是到月终的日子就显得难过了，先是素数变稀，19，23，然后是一 个大的间隙，一下子就蹦到了29，……” 做数论的人 (2) 3．
由于Fermat大定理的名声，在New York的地铁车站出现了乱涂在墙上的话： x^n + y^n = z^n 没有解对此我已经发现了一种真正美妙的证明，可惜我现在没时 间写出来，因为我的火车正在开来。 4.
Hilbert曾有一个学生，给了他一篇论文来证明Riemann猜想，尽管其中有个无法挽回的 错误，Hilbert还是被深深的吸引了。第二年，这个学生不知道怎么回事死了，Hilbert要 求在葬礼上做一个演说。那天，风雨瑟瑟，这个学生的家属们哀不胜收。Hilbert开始致 词，首先指出，这样的天才这么早离开我们实在是痛惜呀，众人同感，哭得越来越凶。 接下来，Hilbert说，尽管这个人的证明有错，但是如果按照这条路走，应该有可能证明 Riemann猜想，再接下来，Hilbert继续热烈的冒雨讲道：“事实上，让我们考虑一个单 变量的复函数.....”众人皆倒。 做数论的人 （3） 5．
有一个人叫做Paul Wolfskehl,大学读过数学，痴狂的迷恋一个漂亮的女孩子，令他沮丧
的是他被无数次被拒绝。感到无所依靠，于是定下了自杀的日子，决定在午夜钟声响起 的时候，告别这个世界，再也不理会尘世间的事。Wolfskehl在剩下的日子里依然努力的 工作，当然不是数学，而是一些商业的东西，最后一天，他写了遗嘱，并且给他所有的 朋友亲戚写了信。由于他的效率比较高的缘故，在午夜之前，他就搞定了所有的事情， 剩下的几个小时，他就跑到了图书馆，随便翻起了数学书。很快,被Kummer解释Cauchy 等前人做Fermat大定理为什么不行的一篇论文吸引住了。那是一篇伟大的论文，适合 要自杀的数学家最后的时刻阅读。Wolfskehl竟然发现了Kummer的一个bug，一直到黎明 的时候，他做出了这个证明。他自己狂骄傲不止，于是一切皆成烟云……这样他重新立 了遗嘱，把他财产的一大部分设为一个奖，讲给第一个证明Fermat定理的人10万马克… …这就是Wolfskehl奖的来历。 Gottingen的传说 Gottingen市政厅底层的墙上
言不讳的镌刻着： “Gottingen以外没有生活。” 1．
1854年，Riemann为了在Gottingen获得一个讲师的席位，发表了他划时代的关于几何学
的演说。由于当时听这个演说的人很多是学校里的行政官员，对于数学根本就不懂，Ri emann在演说中仅仅只用了一个数学公式。Weber的回忆说，当演说结束后，Gauss怀着少 见的表情激动的称赞Riemann的想法。如果读读Riemann的讲稿，就会发现那几乎就是哲 学，尽管这样子，当时的观众中只有一个人可以理解Riemann,那就是Gauss。而整个数 学界,为了完善消化Riemann的这些想法，却话了将近100年的时间。 有人说Riemann的著作，更接近于哲学而不是数学，甚至在一开始，欧洲的很多数学家认
为Riemann的东西是一种家庭出版物，更接近物理学家的看法，与数学家没有关系。一次 ，Helmholz和Weiestrass一起外出度假，Weiestrass随身带了一篇Riemann的博士论文， 以便能在一个山清水秀的环境里静静的研究这篇他认为是复杂又宏伟的工作。但是Helm holz大惑不解，他认为，Riemann的文章再明白不过了，为什么Weiestrass作为数学家要 这么化功夫呢？ 2．
Klein上了年纪之后，在Gottingen的地位几乎就和神一般，大家对之敬畏有加。那里流 行一个关于Klein的笑话，说Gottingen有两种数学家，一种数学家做他们自己要做但不 是Klein要他们做的事；另一类数学家做Klein要做但不是他们自己要做的事。这样Klei n不属于第一类，也不属于第二类，于是Klein不是数学家。 3．
Wiener去Gottingen拜访这位老人家，他在门口见到女管家时，问道教授先生在么？女管 家训斥道，枢密官先生在家。一个枢密官在德国科学界的地位就相当于一个被封爵的数 学家在英国科学界的地位，譬如说Newton。Wiener见到Klein的时候，感觉就像去拜佛， 后者高高在上，Wiener的描述是“对他而言时间已经变得不再有任何意义”。 4．
关于Klein 还有一个故事，当初王诗宬老师请了一个法国的拓扑学家来北大做报告，他讲的东西和
双曲几何有些关系，半路上，突然讲到了Klein和Poincare的故事，说是Klein和Poinca re都在研究自守函数什么的，对于2维的的情况，Poincare把自己的结果用Fuchs的名字 来命名，因为这个人的东西他曾经看过，并且有很大的影响，Klein感到特别的不爽，他 也得到了这样的结果然而Fuchs本人对此却一无所知，如此冠名，他自然觉的很不妥。后 来，他和Poincare分别做3维的情况，无奈自己不是Poincare那样的天才，用功过度，体 力不支，身体都垮了，从此结束了自己创造性的数学生涯。Poincare自己也不在乎这么 东西，于是把3维自己得到的群命名为Klein群。 当时王老师也特别想将这个故事，自己踌躇了半天，后来说这个东西是法国人很有面子
的一件事情，还是让这个法国人讲了。 Gottingen的传说 开始讲D.Hilbert吧
5．
David Hilbert并不是Gottingen毕业的。19世纪80年代，Berlin大学的博士论文答辩， 需要2名学生作为对手，他们向你不停的发问。Hilbert的一个对手是Emil Wiechert(埃 米尔.魏恰特),后来是最著名的地震学家。那时候，德国（也许叫做普鲁士）的大学教授 特别少。Berlin之后3名数学教授，一般的大学至多2个。 Hilbert的博士宣誓仪式，校长主持：“我庄严的要你回答，宣誓是否能使你用真诚的良
心承担如下的许诺和保证：你讲勇敢的去捍卫真正的科学，将其开拓，为之添彩；既不 为厚禄所驱，也不为虚名所赶，只求上帝真理的神辉普照大地，发扬光大。” 欧很想知道现在北大的授予博士仪式是不是也有类似的话
6．
Hilbert上了年纪的时候，一次听到一群年轻人正在谈论一个他知道数学家。那时候，M inkowski这些他很熟的人，有很多都已经故去。他特别关心正在被谈论的这个人，当大 家说完这个人有几个孩子之类的事情之后，他就问说：“...他还‘存在’么.…….” Gottingen的传说
7．
一次在Hilbert的讨论班上，一个年轻人报告，其中用了一个很漂亮的定理，Hilbert说 :“这真是一个妙不可言（wunderbaschon）的定理呀,是谁发现的？”那个年轻人茫然的 站了很久，对Hilbert说：“是你.……”。 8．
Gottingen广为流传的一个关于Minkowski的故事，说是他在街上散步，发现一个年轻人 正在默默想着某个很重要的问题，于是Minkowski轻轻的拍拍他的肩膀，告诉他“收敛是 肯定的”，年轻人感激而笑。 Gottingen的传说 9．
H.Weyl刚去Gottingen的时候,被拒之”圈”外。所谓的圈，是指Toeplitz, Schmidt, H ecke和Haar等一群年轻人，大家一起谈论数学物理，很有贵族的感觉。一次，大家在等 待Hilbert来上课，Toeplitz指着远处的Weyl说：“看那边的那个家伙，他就是Weyl先生 。他也是那种考虑数学的人。”就这样子，Weyl就不属于“圈”这个集合了。这个故事 是Courant讲的，Haar当时是Hilbert的助手，Gottingen当时的人们无一不认为他将是那 种不朽的数学家。但是事实证明，Weyl的伟大无人能比，尽管Haar在测度论上贡献突出 ，但是Courant还是说他和Weyl“根本没法相比”。 10．
von Karman（冯.卡门）通过Haar的介绍来到Gottingen,等到Haar去了匈牙利之后，他很 快成为“圈”内的领袖。圈外人Weyl再一次证明了他的优秀，他和Karman同时爱上了才 貌双全的一个女孩，并且展开了一场竞争。最终圈内人都感到特别的沮丧，因为那个女 孩子选择了Weyl。 Gottingen讲得太多了吧 先停几次，多讲几件烂事 然后再讲 hiahia 先介绍一个人，L.V.Ahlfors, 和另一个美国的数学家共同分享了第一届的Feilds奖。欧
知道他的一部分工作，就是展示给大家复分析和双曲几何之间的深刻联系，把曲率之类 的几何概念引入了复分析，给出了Schwarz引理的几何上的漂亮解释。他还在共形映射， Riemann曲面领域都是贡献非凡。 下面是一个很传奇的事情，欧希望那些认为数学没有“用”的看看数学家是如何认为数
学有用的。hehe L.V.Ahlfors说这些话的时候，正是二战受封锁的时候
“Feilds奖章给了我一个很实在的好处， 当被允许从芬兰去瑞典的时候， 我想搭火车去见一下我的妻子， 可是身上只有10元钱。 我翻出了Fields奖章， 把它拿到当铺当了，（！！！！） 从而有了足够的路费 …… 我确信那是唯一一个在当铺呆过的Feilds奖章……” 在讲几个小事情，都是蛮有意思的那种 明天继续Gottingen 这一个是因果循环的
Hilbert写的第一篇关于Dirichlet原理的文章，希望Fredholm能够欣赏，但是Fredhold
根本就没看；F.Riesz写了很多文章，希望Hilbert能够欣赏，但是Hilbert根本就没看； M.Riesz写了很多文章，希望F.Riesz能够欣赏，但是F.Riesz根本就没看…… 再来一个苏联大牛的
39年的时候，Kolmogorov决定在冰水中游泳，结果以住院告终，医生一致认为他差点
点死掉；但是，70岁的时候，突然决定到莫斯科河里游泳，仍然是冰水，这一次却没有事 情。 Gottingen 的传说 开始讲一下Edmund Landau的故事。
11．
E.Landau是后来的Gottingen的数学系系主任，此人不仅解析数论超强，而且超级有钱。 曾有人问他怎么能在Gottingen找到他，他很轻描淡写的说：“这个没有任何困难，它是 城里最好的那座房子。” 12．
Gottingen 1909-1934年的数学系主任是Edmund Landau。Landau的工作习惯很奇怪，用 6个小时工作，6个小时休息，如此交替。他收到过无穷多关于证明了Fermat大定理的信 件，后来实在没有精力处理，就印了一批卡片，样子大概是这个样子的 --------------------------------------------------------- 亲爱的_____ 谢谢您寄来的关于Fermat大定理的证明。 第一个错误在 ______页 ______行 这使得证明无效。 E.M.Landau --------------------------------------------------------- 尽管有很多的稿件都退了，据说剩下的还有3米多高。 Gottingen的传说 继续讲Landau的故事和Landau讲过的故事
13．
E.Landau是比较自大的那种人，根本看不起物理化学，包括应用数学,他把任何和数学的
应用有关的东西贬为“润滑油”。一次Steinhaus的博士考试需要一个天文学家的提问。 Landau似乎很关心，就问Steinhaus都被问了什么问题，当他知道是有关3体问题的微分 方程的时候，大声的说：“啊，如此说来，他知道这个.……” 14．
A.Rosenthal曾经和Landau住一个房间。一天，
Landau回到房间向Rosenthal抱怨老年的Dedekind和他絮叨了一下午的废话，Dedekind 狠狠的抱怨当年Guass对他不公平，在他的博士学位考试时，问了一些特别难的问题。 Gottingen的传说 继续讲Landau的故事和Landau讲过的故事
13．
E.Landau是比较自大的那种人，根本看不起物理化学，包括应用数学,他把任何和数学的
应用有关的东西贬为“润滑油”。一次Steinhaus的博士考试需要一个天文学家的提问。 Landau似乎很关心，就问Steinhaus都被问了什么问题，当他知道是有关3体问题的微分 方程的时候，大声的说：“啊，如此说来，他知道这个.……” 14．
A.Rosenthal曾经和Landau住一个房间。一天，
Landau回到房间向Rosenthal抱怨老年的Dedekind和他絮叨了一下午的废话，Dedekind 狠狠的抱怨当年Guass对他不公平，在他的博士学位考试时，问了一些特别难的问题。 Gottingen的传说 两个间接的和Gottingen的人有关系的事情
Dehn是Hilbert最得意的弟子之一，曾经率先解决了一个Hilbert问题。 15．
Max Dehn离开Gottingen躲避纳粹追捕的时候，经过苏联，换火车的时候，在海参崴逗留
了一阵，闲来无事去了当地的图书馆，这里的数学书仅仅占一个架子，全部都是Spring er-Verlag的黄皮书。 16．
Poincare也曾去Gottingen演讲，顺便攻击了一下Cantor的集合论，Zermelo当时恰好证
明的每个集合都可以良序化，Poincare演讲的时候他恰好坐在靠近Poincare脚边的位子 上，然而Poincare并不认识Zermelo，他大喊道：“Zermelo那个几乎独创的证明也应该 彻底的毁掉，扔到窗外去！”Zermelo本来就性情古怪暴躁，那天更是绝望盛怒。 Courant甚至认为Zermelo一定会在那天吃正餐的时候杀死Poincare。 Gottingen的传说 17.
Caratheodory是希腊的一个富人子弟，后来在测度等很多方面有着重要的贡献，北大图 书馆还有他的一本讲复变函数的书，非常的几何化，特别优美。他当初是一个工程师， 26岁突然放弃了这样一个有前途的职业来学习数学，众人很不理解，他说：“通过不受 束缚的专心的数学研究，我的生活会变得更有意义，我无法抗拒这样的诱惑。”他选择 的学校是Gottingen. 18.
W.F.Osgood是原来Havard的数学教授，来中国讲过课，我这里还有他在中国的讲稿:-)。 他也是Gottingen毕业的，娶了一德国姑娘，在美国保持着德国的传统。大概是在Gotting en受的影响太大，Osgood做事都模仿F.Klein。他留着欧洲式的头发，抽烟的时候不停的 用小刀戳雪茄，一直抽到发苦的烟蒂头。 Gottingen的传说
从明天开始，再也不说Gottingen了
19.
由于纳粹对犹太人采取的政策，很多数学家都离开了Gottingen。一次纳粹的教育部
长问Hilbert说Gottingen 的数学现在怎么样了，Hilbert说：“Gottingen的数学，确实，这儿什么都没有了 。”Gottingen从那时开始一蹶不振。 20.
这一个几乎和Gottingen没有什么关系，很多数学家都是这个样子，开始的时候
自己的工作的不到承认的，譬如说S.Lie当初的李群，Cantor当初的集合论，等等。 Grassmann最初是一个预科学校的教员，尽管那个时候，他就做出了反交换代数这一大
堆重要的东西，但是那个时代数学家从来不曾重视他的成果。Grassmann自己不的不放弃 数学这个没有前途的职业，化了不少功夫在印度的梵文，把一个叫做Rig-Veda的印度古 经译成了德文。所以Grassmann在当时的语言界受到了更多的尊重。 在Gottingen的图书馆里有一本Grassmann的写的维数论，标题页上面用铅笔写着Minkow
ski的名字，序言后的脚注是：“书付印时作者已去世。”Minkowski用几行字，清楚的 表达了Grassmann的成就：“新版本将比三十多年前收到更多的尊重。” 开始讲述Einstein和他的广义相对论 作为从Gottingen的故事到其他的故事的一个过渡 选一句永远让我心驰神往的话
关于这个宇宙最让人难以理解的地方就是她竟然是可以被理解的。
——Albert Einstein 1．
Einstein构思广义相对论的时候，尽管他的数学家朋友教了他很多Riemann几何，他的数
学还是不尽如人意。后来，他去过一次Gottingen,给Hilbert等很多数学家做过几次报告 ，他走不久，Hilbert就算出来了那个著名的场方程，Hilbert的数学当然比Einstein好 很多。不久，Einstein也得出来了，有人建议Hilbert考虑这个东西的署名权问题， Hilbert很坦诚的说：“Gottingen马路上的每一个孩子，都比Einstein更懂得四维几何 ，但是，尽管如此，发明相对论的仍然是Einstein而不是数学家。” 这篇文章是欧连载的第21篇 献给欧的室友mashimaro 他刚刚在这个世界上混迹了21个年头 今天是他的22岁生日 祝愿他和fayejay两个人永远快乐开心 说两个欧听来的故事
讲的是这个世界上最漂亮的一套理论 广义相对论 据说，Einstein的场方程的第一个球对称的解，也就是Schwarzschild解，是同名的这个 人，在一战的战壕里给出的。Schwarzschild是Gottingen的天文学的教授。 Edditnton是一个伟大的天文物理学家，下面这个故事是讲他如何吹牛的
Albert Einstein的广义相对论发表没有多久，有记者去采访Eddington,
说听说世界上只有三个人懂得这套高深的理论，不知这三个人都是谁？Eddington低 头沉思，很久没有回答。那个记者忍不住又问了一遍，Eddington说：“我正在想谁是第 三个人……” 谢谢那些每天都来读我的文章的人 这篇送给我自己了 希望那些伟大的人们在天有灵保佑我吧 这个故事是一个gg告诉我的：-），还是讲Einstein 不过没有提到很地道的数学家 似乎每一个伟大的人物都以和Einstein交谈过感到无比的光荣。杨振宁提到他当初见
Einstein的时候，过于激动，以至于事后根本不知道自己说过什么Einstein又说过什么 。Lev Landau，苏联最伟大的那个物理学家，就说自己当年参加某会议的时候，有幸和Ei nstein说过几句话，而有某个认识Landau的人说Landau纯属幻想，当时此人和Landau一 起，坐在那次开会的大厅的最后几排，连听都听不清，根本不可能谈话。可见Landau对 Einstein的景仰程度。 讲几个Einstein和数学家的事情 Einstein描述广义相对论，用的数学就是弯曲空间上的几何学，意大利的数学家
Levi-Civita在这种几何学上做出了突出的贡献。所以，有人问Einstein他最喜欢 意大利的什么,他回答是意大利的细条实心面和Levi-Civita。 Einstein是Minkowski的学生，旷了无穷多的课，至于多年以后，Minkowski知道了
Einstein的理论的时候，感叹道：“噢，Einstein,总是不来上课——我真的想不到他能 有这样的作为。” 一次，P.Halmos和妻子遇到了Einstein和他的助手，Einstein很想知道“她”是谁，助
手就说是Halmos的妻子，然后Einstein又问Halmos是谁……Halmos最没有面子的一次。 开始写毕业论文了 先写一个和论文有关系的东东 A.Coble是上个世纪美国的院士，做代数几何，一度很有影响。据称，他有无穷多个博
士论文的题目：当你证明了一个2维的情况的时候，他叫下一个博士生去证明3维的情况 ，然后叫下下个博士生去做4维的。后来有个叫Gerald Huff的博士，不但做了5维的情况 ，而且对一般的n也解决了。这就让Coble的未来的无穷个博士无所事事了。Coble很怒。 -----------------------
讲完了Einstein,继续John von Neumann (冯.诺伊曼）应该是符合道理的，这个造计算
机的数学家。 ---当我们每次用电脑Game的时候,就应该对Neumann示以最崇高的敬意。---
Neumann的就业态度
von Neumann移居美国的动机，很有特别的地方。他用了一种自己认为合理的方法，发
现在德国将来的3年中，教授的职位的期望值是3，而候补的人数期望为40，这是一个不 理想的就业前景，所以到美国去势在必行。这就是他的根据，此时并没有涉及到政治的 形势。 ------
阿基米德比荷马更有想象力。 ——伏尔泰 ------ 继续冯.诺伊曼的表演 von Neumann曾经碰到别人问他一个估计中国小学生都很熟的问题，就是两个人相向
而行，中间有一只狗跑来跑去，问两个人相遇之后，狗走了多少的这种。应该先求 出相遇的时间，再乘狗的速度。如果没有什么记错的话，小时候听说过苏步青先生 在德国的一个什么公共汽车上，就有人问他这个问题，他老人家当然不会感到有什 么困难了。von Neumann也是瞬间给出了答案，提问的人很失望，说你以前一定听说 过这个诀窍吧，他指的是上面的这个做法。von Neumann说：“什么诀窍？我所做的 就是把狗每次跑得都算出来，然后算出那个无穷的级数。”…… Banach在1927年参加一个数学的聚会的时候，他伙同众多数学家，一起用伏特加灌
Neumann，最终Neumann不胜酒力，去了厕所，估计是呕吐。但是Bananch回忆道，当 他回来继续讨论数学的时候，丝毫没有打断他的思路。 最后两个关于冯.诺伊曼的故事 祝大家五一节愉快 von Nuemann的年纪比Ulam要大一些，不过两个人是最好的朋友，经常在一起谈论女人。
包括他们坐船旅行，除了数学之外，就是旁边的美女，每次Nuemann就会评论道：“她 们并非完美的。”他们一次在一个咖啡馆里吃东西，一个女士优雅的走过，Neumann认出 她来，并和她交谈了几句，他告诉Ulam这是他的一位老朋友，刚离婚。Ulam就问：“你 干吗不娶她？”后来，他们两个结了婚。 一次Princeton举行的物理演讲，演讲者拿出一个幻灯片，上面极为分散的排列着一些
实验数据，并且他试图这些数据在一条曲线上。von Neumann大概很不感兴趣，低声抱怨 道：“至少它们是在同一个平面上。” 五一节，休息一下 每天贴一个 ：-） 数学有害健康，大家过节了还是不要看书的好。
下面是历史上最天才的几个数学家在这个时间轴上存在的长度： Pascal 39岁；Ramanujan 31岁；Abel 27岁；Galois 21岁；Riemann 39岁。 身体重要的说。 数学家是天生的，不是造就的。
——H.Poincare de Moivre 21岁的时候，已经靠教数学为生，并且深信自己完全精通了这门学问。一个
偶然的机会，他在一个公爵家里做客，且好Newton送来了自己的《原理》，他信手翻了 一下，惊奇的发现，数学竟然如此精深如此美丽的一门学问。这样，他买下了这本书， 尽管为了教学需要四处奔波，他还要撕下书页，以便能够带在口袋里，空闲时进行研究 。 de Moivre（棣.莫佛）有个定理好像我们中学的课本里就有，说的是一个复数n次方的事
情。 来说一个古老一点的人物 Pascal据说14岁的时候，就已经出席了法国高级数学家的聚会，18岁发明了一台计算机
，是现在计算机的始祖。尽管如此，Pascal成年之后最终致力于神学，他认为上帝对他 的安排之中不包含数学，所以完全的放弃了数学。35岁的时候，Pascal牙疼，不得不思 考一点数学问题来打发时间，不知不觉间，竟然疼痛全无。于是，Pascal认为这是上天 的安排，所以继续开始做数学家。Pascal这次复出的时间不到一周，但是已经发现旋轮 线的最基本的一些性质。尔后，他继续研究神学。 神学也是Newton最终的选择。 :-))
Kolmogorov(柯尔莫戈洛夫)是苏联最伟大的数学家之一，在很多很多的领域做出了 开创性的工作；Cauchy(柯西）就不用介绍了，从中学开始我们就认识这个法国人了。 今天我们就来说这两个姓柯的牛人
Kolmogorov关于数学天赋的见解。当然，很大程度上我认为他想通过这段论述来吹嘘一
下。柯牛人认为，一个人作为普通人的发展阶段终止的越早， 这个人的数学天赋就越高。“我们最天才的数学家，在四五岁的时候，就终止了一半才 能的发展了，那正是人成长中热衷于割断昆虫的腿和翅膀的时期。”Kolmogorov认为自 己13岁才终止了普通人的发展，开始成长为数学家；而Aleksandrov是16岁。 Lagrange曾经预见了Cauchy的天才，苦心的告诫Cauchy的父亲，一定不要让Cauchy在十
七岁之前接触任何数学书籍。这个巨象当年某些人不让张无忌学武功（好像有点不恰当 ）。:-)) 说几个数学家作为教师的生涯吧，大部分出名的人物讲课都不是太出色，或者说
偶尔会很失败。 譬如说 Newton 当初就经常对着空空的讲堂，他讲东西第一不是太清楚，第二太 难，所以Cambridge的学生没有人喜欢他的课。 从一些大家不是太熟悉的人讲起。
Mondelbrolt是靠着画分形出名的，其实他的叔叔，Mandelbrojt是个更为出色的数学家
，曾经是Bourbaki最早的几个成员。他做学生的时候，大老远从波兰到法国读数学，去 了之后精神上受到了严重的伤害，因为他选了Goursat的分析课，然而Goursat上课永远 用一种语气，讲述二三十年前就有的旧东西，听了三周左右的课，Mandelbrojt感觉和自 己梦想当中的课差的太远，竟然哭了出来。不过，几年后，Bernstein来到巴黎，安慰 Mandelbrojt说Goursat二十多年前就这么讲课。不过Goursat对人是很热情的。 遥想当年Mandelbrojt那求知的感情，是多么的纯真。那种东西，似乎已经在也不属
于我们这个时代。 还是有的数学家讲课不错的。
Lebesgue尽管开始研究的东西很奇怪，不过他的讲课确实出奇的得受欢迎。 Picard则是个古怪高傲的人，他的老丈人是Hermite,两个人都是对分析很感兴趣。 和Lebesgue一起，是一件很开心的事。据说，Lebesgue的课，总是有无穷的人去听课的
，大部分人因为Lebesgue讲课不但深刻，而且很有意思。一次，一个国外的学者来法国 报告自己的工作，Lebesgue说你不用报告了，我替你报告吧。:-) Picard总给人一种高不可攀的感觉，令人不敢接近。每次Picard上课的时候，前面有一
个戴有银链子的校役引路，他高傲的踱入教室，在椅子上放有一杯水，Picard先喝一口 水，然后开始讲课，大约半个小时，他再喝一口水，一个小时以后，那个银链子校役就 会来请他下课。 Lindemann，也就是证明了π的超越性的人,据说是历史上讲课最烂的的几个人之一。
此处收集他的故事两则，一个是说他讲课，一个回忆了一下他在巴黎求学的两件小 事，还是蛮可爱的。 传说中Lindemann讲课课大部分时间根本就听不清，听清的话都是不可理解的听不懂
的话，而少数情况下，他讲的话又清楚又听的懂，那就是错话。 Lindemann到巴黎学习的时候，听过Bertrand和Jordan的课，当时学数学的人太少，
尽管Jordan在法国算是领袖级的数学家，听他的课的人只有3个，偶尔会达到4个， 其中却中一人是因为教室里暖和。 Lindemann还曾拜访过Hermite,让他难忘的一点事，那里有一把椅子，是当年Jacobi
坐过的。：-）） 优秀的数学家在定理或理论之间看到了类似 卓越的数学家则从类似中间看到了类似 ——Banach 毋庸置疑，Lefschetz和Wiener都是这种可以从相似之间看到相似的数学家
不过他们的讲课技巧实在是不能让人恭维。 Rota曾讲了一个Lefschetz的故事，关于他的课是如何难懂得，因为他经常语无伦次。
这是几何课的开场白：“一个Riemann曲面是一定形式的Hausdroff空间。你们知道Haus droff空间是什么吧？它也是紧的，好了。我猜想它也是一个流形。你们当然知道流形是 什么。现在让我给你们讲一个不那么平凡的定理--Riemann-Roch定理。”要知道第一节R iemann曲面的课如果这样进行的话，恐怕Riemann复生也未必可以听懂。：-） Wiener尽管是个天才，却是那种不善于讲课的那种，总是以为把真正深刻的数学讲出来
一定要写一大堆积分符号。有一个关于他和中文的事情，Wiener天真的认为自己懂一种 汉语，一次在中国餐馆，他终于有了施展的机会，但是服务员却根本不知道他讲的是汉 语。最后，Wiener不得不评论：“他必须离开这里，他不会说北京话。”…… 下一次说一些法国数学家的事情。
数学家犹如法国人： 无论你对他们说什么，他们把他翻译成自己的语言，于是就成了全 然不同的东西。 —— 歌德 法国的数学家就可想而知了。:-)) 从最天才的人谈起 Galois一共参加了2次Polytechnique的考试，第一次，由于口试的时候不愿意做解释，
并且显得无理，结果被据了。他当时大概十七八岁，年轻气盛，大部分东西的论证都是 马马虎虎，一般懒的写清楚,并且拒绝采取考官给的建议。第二次参加Polytechnique的 考试，他口试的时候，逻辑上的跳跃使考官Dinet感到困惑，后来Galois感觉很不好，一 怒之下，把黑板擦掷向Dinet,并且直接命中。Galios的天才是不可否认的，不过person ality是少一点了，后者在Polytechnique考试中很重要。最后和Galois决斗的那个人， 是当时法国最好的枪手，Galois的勇气令人钦佩。两个人决斗的时候，相距25步， Galois被击中了腹部。 1856年的时候，Hermite患了严重的天花，并好之后，经过Cauchy大力怂恿，竟然皈依 了罗马的天主教。就在这个期间，他和德国的Fuchs一直通信联系，于是，Klein说 Hermite“在气质上不是一个领袖人物”。当然，Klein如此的评论有些个人恩怨的成分 ，可以参见这个系列文章的(9). 在一次国王接见Cauchy的时候，他有五次回答国王的问题是都这样说：“我预料陛下将
问我这个问题，所以我准备好了答案。”然后，他从口袋里拿出笔记本，昭本宣读。 法语是一种恐怖的语言，Birkhoff是上个世界初美国最著名的数学家之一，一个西方人 学习法语，按照常理说应当有一定的优势，不过当他老人家去了法国的时候，还是遇到 了麻烦。 Hadamard曾在法国主持讨论班，有很多人慕名而来，Birkhoff就这样子来到了法国，不
过他的法语实在太差。 那几天，巴黎一直下雨，一天Birkhoff见到了Mandelbrojt问：“一周......几次？”大 概中间的词他不会发音。 Mandelbrojt说：“两次。” “什么，两次？” “是呀，礼拜二和礼拜五。” “怎么可能呢？” “下午三点半开始，五点之前就结束了。” “这个绝对不肯能！！！”这个时候Birkhoff已经快疯了。 后来Mandelbrojt才知道原来Birkhoff问的不是讨论班的时间，而是什么时候下雨。 祝贺未明Science版聚成功,4个报告成功，ggmm们高兴地说 espicially to 5 persons: ruster,yyf,daijianium,lunagrass and arben :-))) 所有的数学家生活在两个不同的世界里。一个是由完美的理想形式构成的晶莹剔透的世
界，一座冰宫。但他们还生活在普通世界里，事物因其发展或转瞬即逝，或模糊不清。 数学家们穿梭于这两个世界，在透明的世界里，他们是成人，在现实的世界里，他们则 成了婴儿。 ——S.Cappel 说3个可爱的法国学家爷爷当年的事情,一个是Hadamard，最出色的法国数学家之一，无
论在几何，分析那个方面，都是经常那种用名字来修饰“定理”这个词的人；一个是 Lebesgue,实变函数论的创始之人，其对数学的贡献不言而明；还有一个叫做Montel,相 对于前两个人不是那么出名，不过在复分析当中有一个极其重要的概念，叫做Montel正 规族，就是用他的名字命名的。 这三个人都是巴黎高等师范学校毕业的（不好意思，要么Hadamard就是从Ecloe Poly-
technique毕业的），Hadamard是他们那一届的第二名，一生都对那个第一名不忿，尽管 那个人作为数学家来说和他严格不是一个档次；Lebesgue和Montel是同一级的学生，分 别是当年的第三和第二名，两个人一生都是很好的朋友，据说那个他们同一届的第一名 仍然在数学方面和他们不能相提并论。 先说Hadamard的诡异嗜好。
他老人家是一个狂热的蕨类植物收集者，一次他带领自己的小妹妹到阿尔卑斯山去采集
这些东西，把妹妹放在一个冰河旁边，采玩了之后就自己兴冲冲的回家了；他这种马虎 一直改不掉，到了40年的时候，他成功的在忘了带护照的情况下，从法国动身去了美国 ；当然，蕨类植物也是他一生的最爱，老年的时候，他去莫斯科访问，Kolmogorov和 Aleksandrov陪同他坐船，Hadamard忽然很兴奋得让他们靠岸，自己激动得站在船头，最 后终于掉到了水里，原来他发现岸上有一种罕见的蕨类植物。 再说Lebegue和Montel,他们后来工作也是在一起厮混，所以下面的事情经常发生。
一次，Lebesgue打电话（那个时候有电话，大概很富有了）给Montel讨论一个事情，两
个人各持己见，吵了一个小时（那个时候的电话怎么收费？）也没有结果；第二天早上 ，Lebesgue有给Montel打了一个电话，说我开始同意你的说法了，然而Montel说我也同 意你的了，于是又开始争吵。 今天不小心写了好多的说 ：-））
----------- 穿过Plato学院的拱形门楼，首先映入眼帘的是 ： “不懂几何者请勿入内。” ----------- 昨天Science版聚，讲到了一个和倍立方有关的小故事，也就是如何用直尺圆规做
一个正方体它的体积是给定的正方体的2倍。当然这个问题用一点域扩张的知识，就 可以证明是做不到的，和三等份已知角一样的。最初，在雅典流行瘟疫，人们很恐 慌，就去求助于神，神谕说要使得瘟疫消失的充要条件是把一个立方形神坛重新建为 一个体积是原来2倍的。按照古希腊的规矩，就是要用尺轨作图。于是大家去问Plato ,Plato说这是神的旨意，用来警告大家要对几何学有着足够的敬意。 回过头来说法国。
法国的数学家大都对抽象的东西情有独钟。Lagrange写出了他著名的分析力学的书的时
候，就骄傲的宣称书中“没有一个图”；A.Weil在教师资格考试时，理论力学交了白卷 ，他认为那根本不算数学。A.Weil就这样子，曾经Pierre Carier问他Gottingen的事情 ，提到量子力学的时候，Weil根本不知所云，尽管当时Hilbert,Bohn,Heisenberg都在做 量子论。后来，Chevally和Weil在悼念Weyl的时候，根本不提Weyl的物理学的成就，然 而大家公认Weyl最有名的两本书一本关于相对论，一本关于量子力学。 ------------ 11岁的时候，我开始学习Euclid的书，并请我的哥哥当我的老师。 这是我生活中的一件大事，犹如初恋般的迷人。 ——B.Russell ------------ 第39篇，写伟大的却不到40岁的Riemann。在100多年后的今天，他的思想还是能够
让人们感到最强烈的震撼。在此表示深深的敬意。 Riemann的父亲是个牧师，家里特别的穷，从小体弱多病，也打算做牧师。有一个人（据
说是Rieamnn的中学校长）发现他在数学上比在神学上更有潜力，送给他一部Legendre的 数论书。Legendre是一个伟大的法国数学家，他的书十分的晦涩难懂。 六天之后，Riemann就找到那个人把这本859页的名著还了，说：“这本书的确十分的精 彩，我已经看懂了。”这个时候Riemann只有14岁。 Riemann19岁的时候去Gottingen读神学，平时也会听一些数学的课程。他比较喜欢泡在
图书馆里。一次，他在那里找到了Cauchy的分析的著作，如获至宝，读完之后，便坦然 的决定放弃神学，从此开始读数学了。 ----------- 天行健 君子以自强不息 ----------- 昨天有人批评道说这个系列的文章有一种过分吹捧天才的倾向
欧觉得批评的特别的有道理 每一个数学家的成功除了他们的天分之外，更加让人们钦佩的是他们 完全忘我的疯狂如自杀般的工作。 今天举两个牛人，Siegal(西格尔)是那种很聪明又很努力的，而Kodaira(小平
邦彦)自己经常说自己天资不好，但是他从中学开始就是那种做事情一丝不苟 全身心投入的人，他回忆自己第一次学习van de Wearden的《代数学》，几乎 学不懂，然后就开始抄书，一直到抄懂为止，可见的Feilds奖的人的学习方法 也不见的先进，唯手熟尔。 Siegal曾经说过，他可以从早上9点起，研究数学，一直到深夜12点，不吃不喝，最后
把一天的食物一并吃掉，弄得胃很不舒服。Siegal被Kodaira称为“非常勤奋”，被Kod aira称为勤奋，可见其勤奋成都是何等的可怕。 Kodaira一天的生活（1949年4月19日）：
8:00起床，剃须，穿西服，外出早餐（玉米片，牛奶，咖啡）； 散步到研究所，大约9:30； 9:40--10:40 Siegal的关于3体问题的课； 11:15--12:00 Weyl的讨论班； 到食堂吃午饭； 坐车去Priceton，1:20--2:20在自己的讨论班上讲论文； 回家继续写论文； 5：30到街上的餐馆吃饭； 回家继续工作到深夜。 开始说说波兰的数学家，从Banach开始, 最最伟大的波兰数学家。 Banach在数学界的登场是一段美丽的传说// :"-))
1916年的一个夏夜，Steinhaus在一个公园里散步，突然听到了一阵阵的谈话声，更确
切的是有几个词让他感到十分的惊讶，当听到“Lebesgue积分”这个词的时候，他就毫 不犹豫的走向了谈话者的长椅，原来是Banach和Nikodym在讨论数学。Steinhuas就这样 子发现了Banach,并把他带到了学术界。他说：“Banach是我一生最美的发现。” 波兰学派的人似乎喜欢在咖啡馆里讨论数学，Kuratowski和Steinhaus是有钱人，他们一
般在高档的罗马咖啡馆里谈论数学；Banach,Ulam和Mazur穷一些，整天呆在一个苏格兰 咖啡馆里，那里的老板挺不错，即使过了营业时间，也不会赶他们。这样子很多年轻的 数学家都来到这里，每次有什么重大的发现，就纪录在一个大的笔记本来，并保存在店 里，这就是著名的苏格兰手册。当然，老板对他们好的一个原因就是他们每次都可以消 耗大量的啤酒，据说有一次聚会长达17小时，其间，Banach不停的饮酒， Ulam说 Banach是难以超越的,英文的原文是difficult to overlast and to overdrink Banach。 德国人在二战的时候，需要大量的寄生虫繁殖疫苗，于是就雇佣了很多波兰人，把装有
寄生虫的盒子戴在他们的手腕上，一人体作为寄主。Banach曾经就拥有这么一个盒子， 其报酬是不会像Saks一样被杀死。一半以上的波兰数学家死于战争。 肚子疼... :"-(( 弄两个充一下数 一个故事说M.Stone的父亲可爱的语言；另外讲了一个Harvard的数学教授，这个人到底
做过什么出色的工作，我也不知道，只是其中提到了30年代的教学情况，特别好玩。 1.
M.Stone写了一本关于Hilbert空间的书，他的父亲谈到自己的儿子时，总是自豪的 说：“我困惑又很高兴，我的儿子写了一本我完全不理解的书。” 2.
1932年J.J.Gergen不的不在一门讲授Fourier级数课程时，不使用一直收敛的概念，原 因是Havard大学的数学系一致的认为一致收敛这个概念对本科生来说太难了。 ---------------- 我不知道世人怎样看我;可我自己认为，我好像只是一个在海边玩耍的孩子， 不时的为拾到更光滑些的石子或更美丽的些的贝壳而欢欣，而展现在我面 前的是完全未被探明的真理之海。 ——Issac Newton ---------------- 这段话不同于他说的那段“站在巨人的肩上”，因为“肩上”那句话是他出来吹捧
一下Hooke(胡克),或者说讽刺一下，那个时代总是为着各种东西的发明权而喋喋不 休。 Newton的一生落落寡合，没有结婚，也没有知心的朋友，人们结交他都是因为他很
高的地位和渊博的学识。一个同事回忆说他只见过Newton笑过一次，当时，有一个 人问Newton说Euclid的几何原本如此的老朽，不知道有什么价值。对此，Newton放 声大笑。:-)) 对很多人来说，牛顿的贝壳尽管光滑尽管美丽，确实不如一块肥皂有用。数学家做
的事情的确是这个样子，一种孩子般的游戏，纯粹的追求快感。Newton之后的几百 年，Cambribge另一个大名鼎鼎的数学家Hardy也说过这种话： “从实用的观点来判断，我的数学生涯的价值等于零。” 既然扯到的Hardy就说说他的轶事吧。他这个人有着各种怪癖，譬如永远不会希望见
到镜子之类的，每次到一个旅馆，总是用毛巾把各个地方的镜子都遮将起来。不说 这些乱七八糟的，说一下子他用“数学”解决的恐船症。 Hardy每次做船的时候，总是怕沉了。克服这个东西的一个方法是，每次不得不坐船
航行的时候，他会给同事发个电报或者明信片什么的，说已经搞定了Riemann猜想回 来之后会给出细节的。他的逻辑是，上帝不会允许他被淹死，否则这又将是第二个类 似于Fermat大定理的事情。 前天闲极无聊，去下载一个叫做百年大讲堂（凤凰中文台的节目)的东东看，其中是王诗 宬老师的讲座，讲的是纽结。 这个以前看过若干遍了，但是看完之后依然就有一种冲动。 本来再已经写好Hero系列中有王老师的，不过不打算来post，现在还是忍不住。 这两次就说两三个很小很小的事情，有历史上的人物，有王老师。 平行的叙述。 ：-）） ---- 比做学问更重要的是做人。 Erdos的Wolf奖金由5万美元之多，他却只留下了720美元，其余的都捐给了以色列作为
奖学金。他说：“我记得有人告诉我说720美元在我已经很多了。” Baire是个公认的大好人，由于数学上的贡献，得到了瑞士颁发的一份奖金，有1000法郎
之多，结果最后拿到了1500法郎。Baire就问他的朋友Montel说：“竟然多了500法郎呀 。我该怎么办，是应该给一位学生发奖学金，还是自己买一件外套？”Montel建议买外 套。 王老师90年代初，得到了一份3万元的奖金，他全部捐给了希望工程，90年代初3万块钱
的概念大家是清楚的。 ---- 再说一段王老师的评论，记得看过Atiyah的一个小册子，他评论道Thurston能够自如的 看到高维的复杂图形，Thompson可以“看”到一个群。Thurston和Thompson都是得过 Feilds奖的人。王老师给我们上课的时候，也做过这样的评论，说只要听懂了Thurston 的一句话就可以写一篇论文，E.Witten就是一个神。呵呵..不过他说得更有意义的是紧 接着的评论，说数学家有很多种，一种是像Thurston这个样子的，很聪明，所以做的工 作很出色；另外一种是尽管天资不是很出众，但是自己能够耐得住寂寞，非常的刻苦， 所以后来也是很出色的。 今天再讲一个王老师的故事，也是他上课时候随口说的。他说的主持讨论班这个人
就是那种工作特别刻苦，又有不错的机遇，最后做出了很大的成就。好像是Freedman吧， 记不得了。 先说一个历史上很类似的故事。
Mandelbrojt一次在Levi-Civita家里做客，恰好E.Landau去玩。Landau在当时也算是成
了名的前辈，于是Levi-Civita举行了一个小小的聚会。其间，一个老先生对 Levi-Civita讲，最近有一个荷兰的年轻人Mondebroht做的工作很出色，Landau问到那是 谁呀？ Mandelbrojt不得不跳出来解释说，那个人不是荷兰人，是波兰人；那个人也不叫Mondeb roht，叫Mandelbrojt；那个人其实就是我…… 做一个注释，上次有人说Mandelbrojt的拼写有错误，这欧又去核实了一下，至少这个拼
写的存在性是可以肯定的，可能并不唯一。反正他是现在那个最出名的做出了美丽的分 形图片的Mondelbrolt的叔叔。 王老师也有类似的经历。当年在Berkeley的一个讨论班上，一个牛人主持，讲解一篇论
文，王老师在期间提了一些很不错的想法。 课下，那个牛人问阁下贵姓？ “姓王。” 牛人说，太巧了，我们今天讲的论文也是一个姓王的中国人写的。 “那就是我……” 开始说一下mm数学家 ...... :-)) 打算post3篇
她们做出的成就的的确确比不上男数学家的成就，但是我们依然能够发现
她们的事迹中有很多的伟大，很多的美丽。 从古希腊说起吧。那个时候，的确是一个很民主的时代，对于女性的歧视要远好于后来
，譬如说很多伟大的数学家哲学家对女性参与数学的态度还是很好的，譬如说 Pythagrass（毕达哥拉斯）学派当中就有女的信徒。Pythagoras本人就很鼓励女性学者 ，当年有个兄弟会之类的东西，里面就有28个女孩,其中有一个叫做西诺的，后来就被 Pythagrass骗去做老婆了。这个女孩在当时是个比较有影响的数学家。Socrates(苏格拉 底） 和 Plato（柏拉图）也曾经邀请过女性去他们的学院讲学。 从他们往后，女性在很多的行业中受到了歧视，在哲学数学自然科学这些领域更是如此
了。 有一个令人心痛的故事，讲的是Hypatia (西帕蒂娅) ，她处的时代就是Plato他们
往后那么一点的时候。Hypatia本身是个很优秀的数学家了（在那个时代），她的演讲 很出名，而且解题也是高手，其父亲是亚历山大的一位数学教授。经常有一些数学家找 他询问一些题目的做法，她也很少让大家失望。一个小故事说有人问她为什么不结婚， 她回答说她已经和真理定了婚。不过Hypatia后来极为悲惨，有个叫做Cyril的什么教长 之类的人，声称数学家哲学家这帮人为异端，对他们大加残害，手段令人发指。 在一个封斋的日子里，Hypatia被从马车上拖到教堂，剥光衣服，身上的肉被一群狂暴的 人用牡蛎的壳刮了下来。 mm数学家之二 话说时光飞逝，转眼间从古希腊来到了18世纪的意大利。尽管从物质生活到文化的各个
方面，比起希腊，已经大大的发展了，但是女性的地位相对来说还是一如既往的得不到 重视。 有一位被认为是当时欧洲最出色的数学家的女数学家，叫做Maria Agnesi(玛丽亚.阿涅
西） 像她这样出色数学家，在欧洲还是没有研究机构愿意提供给她职位，尤其是法国这 样的国家，更是对她不屑一顾。 她有一篇关于曲线的切线的文章尤为出名。但是意大利语中曲线一词叫做versiera，
好像在拉丁文还是什么文字当中是avversiera的缩写，后面这个词意思是 魔王的妻 子。于是Agnesi研究过的一段曲线(versiera Agnesi)翻译成英文的时候，就被叫做Agn esi的女巫，后来，有一段时间，大家都这么称呼女数学家。 在关于女数学家的记载当中，很少有关于她们容貌的描述的，不过要说的是还是有ppmm
做了数学家，上个世纪在偏微分方程方面，Sonja Kowalewski(柯瓦列夫斯卡娅.索菲娅 ）无疑是最优秀的数学家之一。她本人绝对是个一流的美女，据说当初Weiestrass也被 她的美貌深深的吸引。 mm数学家之三 每每读到她为什么选择了数学，总让我心驰荡漾........
在所有的欧洲国家中，法国对女性的歧视(学术上的)尤为严重。Sophie Germain(索菲
.热尔曼)就出生在这个国家。Germain当初读过一本讲Archimedes的书，说当初他老人家 专心的研究一堆沙子组成的几何图形，以至于一个罗马士兵问他话他充耳不闻。那个士 兵一怒之下把Archimedes杀死了。Germain认为，一个人可以如此的痴迷于一个东西以至 于置生死于不顾，那么这个东西一定时是世界上最美的最迷人的。于是她选择了数学。 开始Germain的父母强烈反对，没收了她的墨水蜡烛之类的东西，然而，Germain痴心不
改，终于感动了父母，一生父亲都支持她的数学工作。1794年，Polytechnique在巴黎建 校，尽管这里盛产数学家，但是却只接受男性，于是Germain化名为Le Blanc偷偷的混进 去旁听，当然，当时确实有一个人叫做Le Blanc，估计这个人比较喜欢旷课，反正他一 直不到，Germain得以在那里好好的读书，几个月之后，她的任课老师Lagrange发现了一 个很牛的学生，Germain不得不说她其实是女儿身。Lagrange毕竟不同于一般的人，他很 高兴有这样的一位朋友，并乐于做Germain的导师。 Germain不久对数论尤为倾心，可能受Lagrange的影响吧，他年轻的时候靠变分法出名，
年长之后在数论方面贡献卓越。Germain选择的题目是Fermat大定理，她把自己的结果寄 给Gauss，令Gauss特别的欣赏，她当年才刚刚20岁，而她做出的成果是当时最好的。当 然，她还是怕Gauss对女性有偏见，于是仍然选择了Le Blanc这个名字。后来，Napolea n的军队攻入德国，Germain怕Gauss重蹈Archimedes之覆辙，于是给自己的朋友，也就是 当时通领三军的一位将军写信，这位将军果然对Gauss很为关照。 Germain后来又在物理上面做了很多东西，尤其是在弹性理论上面。由于她在数学物理上
的突出贡献，她最终荣获了法国科学院的金质奖章，并成为第一位不是一某位成员的夫 人出席科学院讲座的女性。在生命的最后几年，Gauss说服了Gottingen大学，授予Germ ain名誉博士学位。在那个时代，这是极大的荣誉。可惜在她的有生之年，未能亲自带上 那令人骄傲的帽子。 mm数学家之四 这是欧说的最后一位mm数学家，也是最最伟大的一位，Emmy Noether(埃米.诺特).
她对20世纪的数学的影响无以伦比，提到抽象代数就不得不提一下Noether.最最著名的
一本抽象代数的书van de Wearden的<代数学>就是采取的Noether的讲义。E.Artin,van de Wearden等人都是她的学生。 尽管这样子，Noether在Gottingen的同事Edmund Landau还是就决给她讲师的职位，并
说“...当我们的士兵发现他们在一个女人脚下学习的时候，他们会怎么想?”不得不说 Landau令人不招人喜欢。最让人不能容忍的是有人问她Noethor是否是一个伟大的女数学 家的时候，他说：“我可以作证她是一个伟大的数学家，但是对她是一个女人这点，我 不能发誓." 不过，伟大如Einstein和Hilbert的这样的人都对Noether推崇备至。Einstein曾经说N
oether是“自妇女开始受到高等教育以来最杰出的最富有创造性的数学天菜”，Hilber t则支持Noether去争取一个讲师的职位，并反驳Landau说：“我不认为候选人的性别是 反对她成为讲师的理由，评议会毕竟不是澡堂。”看来Hilbert当时有点怒了。 ---------- 四年终究有些遗憾. ----- mashimaro ---------- 这是偶的室友的一个签名档，比“遗憾总是难免的”的说起来好听，但是是等价的。很 多数学家于垂暮之年回首往事，也总是发出这样那样的感慨，与常人无异。 从Hadamard说起，原来讲过他是个和蔼的老头，数学好的不得了，人也是这个样子，上
个世纪初还来过清华讲过课。 每每谈及往事，Hadamard总是很惋惜的说道一辈子有两件事情特别的后悔。
第一个在数学方面，他很早就找到了Jensen公式，由于没有发现很精辟的应用，一直就
没有发表，结果Jensen抢先了一步。 第二个是物理方面，关于狭义相对论，他也是很早就有了这样的想法，只不过没有时间
深入下去，后来Einstein就发表了。 其实Hadamard最不能忘怀的事情，决不是上面两件，而是关于自己当初考试的。以至于
年纪大的时候，仍然耿耿于怀，甚至到俄国和Kolmogorov都提这件事。就是Hadamard做 学生的时候，参加数学的会考（相当于数学竞赛吧），得了第二名，第一名后来也是一 个数学家，Hadamard对Kolmogorov说：“事实证明后来他做得没有我好，其实他一直没 有我好。” 当初Fermat证明不了东西时候，就写下了这句话 Cuius rei demonstrationem mirabilem sabe detex marginis exiguitas non caparet. 翻译成中文就是 我有一个对这个命题的十分美妙的证明，这里的空白太小，写不下。 后来，Hilbert也会了类似的技巧，
有人问Hilbert为什么不去证明Fermat大定理，他说为什么要杀死一只下金蛋的母鹅，因 为这样的一个对整个数学发展有着如此深远推动的问题太少了。不过个人认为他没有能 力杀死这只鹅。 还有另外一个和金蛋有关的事情，不过和数学家没有关系。当初欧洲的反法联军快攻到
巴黎的时候，Ecole Polytechnique的学生要求上战场，保卫国家，拿破仑说：“这怎么 可能呢，我不能为了打赢一场战争，杀死一只会下金蛋的母鸡吧。” 熬夜写东西,无聊之际,过来说一个不学数学的人一般不知道的人吧 刚刚看到了和他有关系的一个定理的说 :-)) H.Whitney是很著名的美国数学家，做了很多很重要的工作，譬如说向量丛的Stiefel-
Whitney类是用他的名字命名的，还有一个著名的定理，说每一个n维的流形都浸入一个 2n-1维的欧氏空间嵌入一个2n维的欧氏空间，也是他的结果。欧们的图书馆里还有他的 论文集的。 很难想象,他本人一开始竟然不是学理科的.
Whitney的本科时候读的却不是数学，话说他学业完成，到欧洲大陆去玩，大概是到了
Gottingen还是什么地方了，反正是个很有名的地方，当时有一个很牛的物理学家（不是 海森堡就是薛定谔）正在做一个关于量子力学的讲座. 等得讲座结束之后，Whitney什也么没听懂，感觉及其不爽，于是找到了那个主讲的人，
说，先生，我觉得你做的讲座很不成功. 主讲的教授很纳闷，就问他说为什么.
Whitney回答说，我可是Yale大学的优等的毕业生，你讲的东西我竟然听不懂，这难道不
是你讲的有问题么。 那个教授继续问,你是读什么专业的。
Whitney回答说,我是读小提琴的.....
教授大大的分特了，说这个我也没有办法，你要想懂的这些东西的话你应该学一点基础
的课，于是告诉他这个世界上还有数学分析和线性代数等等... Whitney回美国之后就开始发奋学习数学，据说半年之后就可以参加很高级的讨论班了.
当然他是非常刻苦的, 数学的历史上还是有很多这种大器晚成的例子的.
----------- 上帝之所以存在 是因为数学是相容的 而魔鬼之所以存在 是因为我们不能证明数学是相容的。 ——Andre Weil ----------- 一个很有意思的事情，很多很多的数学家和物理学家都特别的喜欢音乐，一个很出名的
例子就是爱因斯坦。数学家当中也是这个样子，大家在做完了数学之后，也会醉心于此 。譬如说E.Artin,一个上个世纪影响最大的带数学家之一，据说钢琴的弹奏水平极高， 尤其是特别的严格，好像他做的代数一样；譬如Courant，和Artin比起来路子要野蛮一 些，水平也要低些，不过热情毫不逊色，还经常邀请Artin到家里演奏一番；再譬如 说J.Nash,这个人大家比较熟悉，刚刚演的A Beautiful Mind说得就是他，他原来就喜欢 绕着Princeton的Fine Hall游荡，并且嘴里吹着口哨，后来一个得了Feilds奖也得了 Wolf讲的人数学家J.Milnor还说，他第一次听巴赫的音乐就是通过当时Nash的口哨声。 更有甚者，譬如Dieudonne,这个法国Bourbaki的人，不但喜欢弹琴，更是能记住很多很
多的乐谱，据说上千页的乐谱他也能背诵。曾经一次，Dieudonne和P.Cartier去音乐会 ，他指着手里的节目单说：“乐队的演奏漏了一个字符.……” 再譬如说，Fox,一个美国的拓扑学家，在60年代的时候，提到这个名字，就相当于提到
了低维拓扑这个方向，他本人的小提琴的演奏水平也相当专业。这个人比较喜欢故弄玄 虚，据说，在一次音乐会上，Kodaira和他一起，不料这次的演奏时不时的停顿，而且 有声音的时间要少于没有声音的。Kodaira感到特别不好听，Fox叹息道：“这是受了禅 影响之后的音乐，我正在试图从无声之中听出有声。” 上一次说到了很多数学家都喜欢音乐。不过我的看法是似乎比较“古老”一点数学家的 业余爱好要少一些，当然有可能是关于他们的记载要少一些，不过我觉得他们更能够集 中精力，全身心的投入。从阿基米德，牛顿到高斯，黎曼，似乎出了研究之外。很少关 心别的事情。 譬如说Gauss(高斯)。听说过一件极其变态的事情，但是从另一个侧面我们也可以知道
他不仅仅是天分出众，更重要的是努力。Gauss中年的时候妻子就死去了，那个时候， Gauss就很有名望，家里有保姆。妻子病的一塌糊涂，不过他还是专心自己的研究。这个 当然不是一个值得称道的品质。就是妻子的弥留之际，他还是没有去她的身旁，保姆实 在看不下去，就去Gauss做研究的地方去找他说让他赶快过去，Gauss随口答应了，但是 依然做自己的东西。保姆又来了一次，痛斥了他一番，岂知Gauss告诉她说：“我马上就 过去，你让她再等一会……” 在譬如说J.Nash, 大家只是知道他的天才，却很少提到他的努力。钟开莱(Kai Lai
Chung)在Princeton的时候，遇到了这么一件事情。说一下，这个姓钟的人是一个很重要 的华人数学家，在概率方面很有作为。他去一个很有名的休息厅，适时恰是秋季的清晨 ，休息厅里空空荡荡，寂静异常，就像教堂的感觉一样。大厅中间的巨大的桌子上面， 乱七八糟，全都是草稿纸，一个人躺在上面，正愣愣的思考。这正是Nash，很显然这又 是一个不眠之夜，他一直在考虑数学. 说几个和监狱有关系的事情，做数学这个东西的确不同于很多学科，只要有一个场所可 以供以静坐，有纸笔可以演算，这个世界的一切都无所谓。 最最著名的故事就是关于Leray的事情，他是法国Bourbaki学派的创始人之一。最初的时
候，他做的是分析，在流体力学和力学方面卓有贡献。后来二战爆发，Leray作为法国的 军官参战，40年的时候，被德国人抓到了集中营里。德国人在战争方面对于科技的重视 使得他们对每一个数学家和物理学家都是很关注的，而Leray做的是分析，很有可能被德 国人关起来去做各种各样的用来杀人的弹。为了避免这件事情的发生，他就以代数学家 自居，在狱中的时候依然努力的做研究，出狱的时候，发表他的那套对后世影响至深的 层论（Sheaf Theory）。 还有一个关于S.Lie的传说，这个人就是李群的那个Lie.S.Lie当年普法战争的时候呆在
法国，由于普鲁士口音太重，被法国当局投入监狱，后来法国战败，大概恼羞成怒，准 备杀掉这帮人，幸亏Darboux想方设法把Lie从那里救了出来。一个传说时，Darboux到 达牢房的时候，发现他这位朋友竟然静静的坐着研究数学，而他在研究的东西正是著名 Lie群。 -------------------- 弄清π是无理数这件事可能是根本没有实际用处的 但是如果我们能弄清楚 那么肯定就不能容忍不去设法把它弄清楚 ——E.C.Titchmarsh -------------------- 昨天提到了2个在监狱里做出了大手笔的数学家，还有一个和监狱有关的趣事，这个发生
在Gottingen,主角是E.Landau,这个人在前面提到了多次，解析数论大家，巨富无比，人 高傲自大，也蛮可爱的，除了当初对我们尊敬的Noether姐姐不恭之外。 Landau讲过Fourier级数的课，其中会涉及到一个叫做Gibbs现象的东西，当他讲到这里
的时候，振振有词的评论道：“这个现象是Jail的英国数学家Jibbs发现的。” Landau是典型的德国人，从这句话我们可以看到他的英文水平。因为这个时候，不得不
有人跳出来指出他的错误：“第一他是个美国数学家；第二他叫Gibbs不是Jibbs；第三 ，也是最为重要的一点时，他更不在Jail（监狱）里面，而在Yale大学。”:-)) 顺便说说这个"Jibbs"碰到的事情，Yale曾经连续7次拒绝向著名的物理学家Gibbs发薪水
，理由是人为他的研究没有意义。 中国有句古话说名师出高徒，说的是你如果和高手一起切磋，整日耳濡目染，会不知不 觉学到很多很多东西。大多数数学家的老师都是很牛的数学家的，可能Gauss和Newton这 样的人除外，他们不需要老师的。 有一个故事说有一个人试图画出Lefschetz的数学后代家族树，几个月后，他就不得不放
弃，因为根本找不到一张足够大的纸，这是一个指数增长的典型例子。越是这种大数学 家，他的学生一般来说越多，受到他影响的人也就越多。 再譬如说在Berkeley的一次逻辑学的会议上，Tarski请Sierpinski的学生举一下手，大
部分人都举了手，然后Tarski请Sierpinski的学生和学生的学生举手，所有人都举了手 。这两个人都是波兰的最最著名的数学家。 最后我列举一下一些数学家的师承，这个不完全，其实是很不完全，希望大家补充的说
： Dirichlet是Riemann的老师
Wierestrass是Cantor, Killing 和 Frobenius的老师 Noether 是van de Wearden， Alexandroff的老师。 Hardy是Wiener的高等数学的老师, Hermite是Dini的老师 Hadamard是Frechet的老师 Kronecker是Kummer的老师 Sylow是S.Lie的老师 Hodge是Atiyah的老师 Gauss的小学老师是Lobachevsky的大学老师 Hilbert是无穷多个人的老师 Kummer的妻子是Dirichlet的表妹。 Laurent Schwartz是Paul Levy的女婿 据中国的古话说职业一共有365种，反正是很多了，应该说作为数学家，从收入上来说是 相对比较少的，这个相对的意思是从付出的努力到最后真正得到的钱的比值的倒数。 这里给一个1959--1960年度 Chicago大学 数学系教授的工资情况，这里的每一个数学家
都是大名鼎鼎的： Stone 20000 $ Albert 16000 $ S.S.Chern 16000 $ Maclane 16000 $ Zygmund 16000 $ Kaplansky 13000 $ P.R.Halmos 13000 $ 其实好像也不少了，那个时候是50年代末，有这么多钱肯定衣食无忧了，这也是为什么
美国的数学家能够专心研究吧。 从现在来看，好像学数学收入更少了，很多人出国读数学没几年就转行了，毕竟计算机
经济之类的专业转化为生产力的速度更快。 说到了转行的事情，想到了一个“内部周转”的事情，Spencer在离开英国去Princeton
的时候，Littlewood去火车站送他，叮嘱：“不要改行。”于是，Spencer研究了10年 的Bieberbach的系数问题，后来终于受不了了，改做复流形，没有多少功夫就和Kodaira 一起发表了他们著名的工作。 说一说数学家之间的恩怨，由于门派喜好乃至政治上的分别，他们之间也往往有些小小 的过节。 法国曾经有一个很著名的Dreyfus事件，这是对法国的政局甚至日常生活影响很深的一个
政治的风波（至于具体是什么，我也不知道，不过上面的信息对理解后面数学家们的行 为已经足够了）。 Hadamard个人算是一个Dreyfus派的人，不过他个人当然是对政治事件很淡的那种人了
。适值那年的元旦，按照巴黎高等师范学校的传统，年轻的老师要给年长的老师拜年。 Hadamard于是跑到Hermite那里去拜谒一下子，Hermite本身是个反Dreyfus的人，看到 Hadamard来拜年，第一句话就说：“你是个叛徒！”Hadamard很难理解这句话：“为 什么？”Hermite本身做分析，而且个人固执的看不起几何等分支，那时候Hadamard有一 项关于负曲率曲面的文章很是著名，Hermite就对Hadamard说：“你为几何而背叛了分析 。” Picard也曾为了这个政治的原因对Hadamard说：“由于你是数学家，我很尊重你。”言
下之意，已经很明显了。不过Picard这个人一向目中无人，无论对谁都是贬多褒少，一 个有意思的事情说，Picard在法国科学院收到了一份Bourbaki的报告，看到了Nicolas Bourbaki的名字，说：“呃，这些外国人。” 继续说数学家们之间的过节。整体而言，做学问的人总是让人尊敬，很少有令人讨厌的 。要说几个人，他们的学问的确是一流的，但是在同行里的口碑却不是很好。 第一个要说的人是Koebe, 此人作为数学家还是很出色的。但是从做人的方面来说，极为
自负（其实对于数学家而言，这一点很可爱）而令人讨厌，偶尔还剽窃年轻人的想法。 Courant（柯朗）当初就很受他的排挤。一次在Gottingen, Courant要报告一个题目，当
时Koebe恰好也要报告，但是，Courant是年轻人，按照不成文的规矩，他是初学者，而 且刚刚完成了博士论文，有特权先报告。当Klein问大家谁先报告的时候，Koebe迫不及 待的说：“我先讲。” 后来Courant的朋友很愤怒，在Koebe的课上，把一个藏有警报器的便壶藏在讲台下面，
Koebe最终找出了这个发声的东西，引起哄堂大笑。不久，他的朋友在当地的报纸上公开 了这个恶作剧。 数学史上还有两个大师级的人物，同样的是学术很好，但是名声不济，和很多人有这样 那样的误会和矛盾。 第一个是Kronceker,大家用的很多的Kronecker符号就是用的他的名字。此人身体瘦小无
比只有5尺高，当初经商和务农很牛，赚了一大笔钱，30岁之后致力于数学。他在德国算 是很权威的人，但是特别烦的是，很专断，根本不相信无理数的存在。当初Linderman和 他讨论π的问题的时候，他竟然说这个东西根本不存在; Cantor后来疯了，很大程度上 是因为Kronecker的废话太多；据说Weiestrass都差点被他弄哭了，就是因为他对无理数 抱有一种病态的看法。 第二个人就是Brouwer,直觉学派的领头人，感觉上特别想当年的Kronecker，对于和自己
不用的意见不能容忍。他称Hilbert等人为敌人，认为无穷这个东西是不存在的，不仅如 此，凡是有人不同意的话，他总是想方设法刁难。他原来是某一著名杂志的主编，别人 寄来的文章通常都是高置于案头，没有一年半年他决不会给人家发表。一次，他和van de Wearden的一起在朋友家里做客，后者讲到了Hilbert和Courant，并且以朋友相称。 这时候，Brouwer竟然一怒之下，拂袖而去。 三个做作业的故事,他们的作业很难得说
第一个是被大家称为线性规划之父的Dantzig (丹齐克)，据说，一次上课，Dantzig迟到
了，仰头看去，黑板上留了几个题目，他就抄了一下，回家后埋头苦做。几个星期之后 ，疲惫的去找老师说，这件事情真的对不起，作业好像太难了，我所以现在才交，言下 很是惭愧。几天之后，他的老师就把他召了过去，兴奋的告诉他说他太兴奋了。Dantzi g很ft, 后来才知道原来黑板上的题目根本就不是什么家庭作业，而是老师说的本领域的 未解决的问题，他给出的那个解法也就是单纯形法。据说，这个方法是上个世纪前十位 的算法。 第二个和上面的类似，Milnor（米尔诺，得过Feilds奖和Wolf奖，特别有影响的一个数
学家，现在还健在，但是听说因为年纪大了，没有人给他研究基金，让这个老人很痛苦 ）在Princeton大一的时候，上课得知Borsuk的一个和全曲率有关的东西，误以为是家庭 作业，几天之后搞定了，后来就发表在年鉴上面。 第三个讲的是Arnold, 先说一下背景，有一个很著名的问题叫做“三体问题”，粗略的
说就是研究一下像太阳月亮地球这样的三个行星在万有引力的作用下，最终会不会相撞 。伟大如Poincare之类的人，都只是部分解决了这个问题。再介绍一下Arnold的老师Ko lmogorov, 一个苏联的大师， 可以说是活在20世纪的前三位的数学家（如果可以排名的 话），过几次说说他的故事。Kolmogorov对这个问题有了兴趣之后，着实花了些功夫， 后来他觉得离着解决差不多的时候，干脆就把这个问题留成了一道课外作业，Arnold他 们就奉命去写作业，若干时日之后，终于成功的解答了这个东西，当然他的贡献是特别 大的，很多关键的想法都是自己创的，所以最后这个问题的解答所形成的定理叫做”KA M”，KA就是他们师徒俩人，M则是一个美国数学家Moser,也曾对这个问题做了很多的工 作。 提一个波兰的数学家，学过Fourier分析人应该对他很熟悉，他就是Fejer。关于他的数 学水平可以用Poincare的评论来证实，Fejer关于Fourier级数的Cesaro和的工作是大四 做的，1905年的时候，H.Poincare到匈牙利去领取Bolyai奖，很多政界的人都去接见， Poincare见面就问：“Fejer在哪里？”众人面面相觑：“Fejer是谁？”Poincare说： “Fejer是匈牙利最伟大的数学家，也是世界上最伟大的数学家之一。” 其实政界的人去接见Poincare并不是因为他是那种最最伟大的数学家，而是因为
Poincare的的哥哥原来是法国的总理什么的，一般来说，政界的人对于谁是数学家并不 关心，要不也就不至于不知道Fejer了。 据说，Fejer比较喜欢到处乱说话，有两件事情来证明。Fejer和Riesz的关系很好，但
是他比Riesz晚生了两个星期，于是，就到处声称他其实比Riesz要大，因为Riesz早产了 ；Fejer和Kerekjarto不和，后者是一个拓扑学家，Fejer说Kerekjarto说的话和真理只 不过是拓扑等价。 Kolmogorov (1) 这是苏联最伟大的数学家之一，也是20世纪最伟大的数学家之一，在实分析，泛函分析
，概率论，动力系统等很多领域都有着开创性的贡献，而且培养出了一大批优秀的数学 家。特别的用两次的时间来介绍他，因为Kolmogorov不仅作为数学家很传奇，更是有着 丰富多彩经历。 Kolmogorov一开始并不是数学系的，据说他17岁左右的时候写了一片和牛顿力学有关的
文章，于是到了Moscow State University去读书。入学的时候，Kolmogorov对历史颇为 倾心，一次，他写了一片很出色的历史学的文章，他的老师看罢，告诉他说在历史学里 ，要想证实自己的观点需要几个甚至几十个正确证明才行，Kolmogorov就问什么地方需 要一个证明就行了，他的老师说是数学，于是Kolmogorov开始了他数学的一生。 二十年代的莫斯科大学，一个学生被要求在十四个不同的数学分支参加十四门考试；但
是考试可以用相应领域的一项独立研究代替。所以，Kolmogorov从来没有参加一门考试 ，他写了十四个不同方向的有新意的文章。Kolmogorov后来说，竟然有一篇文章是错的 ，不过那时考试已经通过了。 Kolmogorov (2) 不说他老人家在数学上的成就了，因为实在太多，譬如说上同调环这个东西他也是独立
发现的。专心的说一下他的轶事。 Kolmogorov总是以感激的口气提到斯大林：“首先，他在战争年代为每一位院士提供了
一床毛毯；第二，原谅了我在科学院的那次打架。”Kolmogorov一次在选举会上打了 Luzin一个耳光，他说：“（打架）那是我们常用的方式。”Luzin在实变函数方面有 着很重要的贡献，但是以打架而论，远非Kolmogorov的对手，因为Kolmogorov经常自豪 的回忆他在Yaroslovl车站和民兵打架的经历。 一个人如果打架很牛的话，经验告诉我们他必然身体强壮，而Kolmogorov的确很擅长运
动，并经常以此自诩。譬如说，他经常提到一件事情，并且深以为撼，三十年代的一个 冬天，Kolmogorov身穿游泳裤雪橇，在得意的飞速下滑，碰到两个戴相机的年轻人请他 停下来，他原以为他们仰慕他的滑雪技术会为他拍照，结果他们请他为他们拍照。再譬 如说，39年的时候，他突然决定在冰水中游泳以表达对自己健康体魄的高度信任，结果 以住院告终，医生一致认为他差点死掉；但是，70岁的时候，突然决定到莫斯科河里游 泳，仍然是冰水，这一次却没有事情。 -------------------- 有一条小路，穿过田野，通向新南盖特，我经常独自一人到那里去看落日，并想到自杀 。然而，我终于不曾自杀，因为我想更多的了解数学。 ——B.Russell -------------------- 就用下面的一篇作为这个系列的结束吧，R.Thom是法国人，35岁得的Fields奖。
在一次采访当中，作为数学家的Thom同两位古人类学家讨论问题。谈到远古的人们为什
么要保存火种时，一个人类学家说，因为保存火种可以取暖御寒；另外一个人类学家说 ，因为保存火种可以烧出鲜美的肉食。而Thom说，因为夜幕来临之际，火光摇曳妩媚， 灿烂多姿，是最美最美的。 美丽是我们得数学家英雄们永恒的追求。
后记 感谢那些每天来看我连载的人，感谢每一个喜欢这些故事的人。我根本没有想到会有这
么多人喜欢，尤其是我如此拙劣的文笔，谢谢大家。最初选Hero作为题目，是因为那时 候想起了Mariah Carey的一首歌，叫做Hero。我不知道这六十多篇文字，是否真的勾勒 出这些英雄们的桀骜不驯娇憨可爱，是否真的描绘出这些英雄们在追寻美追寻永恒的历 程中，满心的痴狂惊人的努力。 说正事，这个后记基本上来说说文献，就是这些东西的出处。
第一本叫做 天才引导的历程, 作者是威廉·邓纳姆，一个美国人。这本书是我高中读过
的，其中有若干经典的证明譬如Euler的求自然数平方倒数和的那个伟大的类比（尽管不 严格），更好的一点是，书中有若干有意思的小故事，即使不喜欢读证明，依然是很有 趣味。 第二本或者说第二和第三本是Constence Reid为Hilbert和Courant写的传记，写书的女
士不是数学家，所以行文更流畅故事更多。第一次知道这本书是个巧合，大概是二年级 的时候，我去图书馆的电脑上随便检索，发现在Weyl的词条下，有一个说是Hilbert的文 集有Weyl作的注释，这种经典自然要去翻翻，但是按索书号却是Reid的书，英文版的。 今年，中文版的书也出了，我用的很多的引言都是中文版的书中的。 第三本是Ulam（乌拉姆）的自传，叫做 一个数学家的经历，是一本上海科技出的红色的
小册子，本人两年前在国林风卖旧书的地方以2元的价钱购得，书中讲了他不是太传奇的 一生，用了很多笔墨去写von Neumann。 第四本是 P.Halmos的自传，叫做 我要做数学家，有20几块钱，好贵，我从alpha那里借
来看过，不是太有趣味，因为行文过于冗长，但是长的一个好处是故事多，而且Halmos 这个人就是喜好吹牛。 第五本是 Nash的传记，名字是 普林斯顿的幽灵， 讲述Nash的故事，我这里不知道贴了
多少，最近由于A Beatiful Mind这部片子的缘故，Nash变得特别的出名，大家不妨去看 看这本书，还是很有趣的。 其他的书引用得不多，这里列一下，有一本书叫做 一个数学家的辩白， 作者是Hardy（
哈代），此书还附有Weiner（维纳）的自传；一本是Newton（牛顿）的传记，名字大概 就是 牛顿传 吧，记得序言的第一句话是说历史上为某人立传而不需要理由的牛顿当之 无愧的算第一个；还有一本是A.Einstein(爱因斯坦)的传记，具体那一本忘了，估计都 差不多。至于其他其他的书譬如讲Erdos的 数字情种 和另外一本比较著名的 数学精英 ，欧倒是没有读过，据说都是很好的传记性质的书。 还要提一下一本杂志，中科院出的，叫做 数学译林， 在北大图书馆的四楼就能找到，
每次在图书管理无聊的时候，我就去翻看上面的故事，这个杂志堪称为给数学系学生看 的最好的杂志了。其中不但有很多传记和历史，还有前沿的数学工作的介绍，经典的东 西的回顾。 以上这些书的并集，也许不能完全的包含这几十篇东西，那么其差集就是平时老师同学
讲的故事和某些专业书里作者随手插的花絮。 到这里就真的结束了吧，要毕业了。又想到了一个小故事是Halmos的，他写了一本著名
的书叫做Measure Theory，当他完成此书的时候，心中喜悦难以抑制，向众人宣布:“我 刚写完了Measure Theory的最后一个字！！”有人问:“最后一个字是什么？”Halmos当 时愣住了，连忙赶回办公室，再跑回来，告诉他们说是什么什么。我也写完了，最后一 段话和本文无关，写给远在千里之外的一个女孩，每一天到bbs上的时候，我总是假设你 也上bbs,你也来看我的连载，希望你能喜欢这些故事哪怕只有一个，尽管你不喜欢数学 也不喜欢我。 祝福大家开心的度过考试。 祝福大家今后能够学业有成。 要毕业了，来的少了，祝福mathematics版繁荣昌盛。
//btw,修改一下，说一个长的故事，这样子这一次抢第一就会被g or m了 hoho 说牛顿了。
其实Newton并不是第一个发现平方反比定律的人，对那个时代的数学家和物
理学家，这个定律大家基本上已经知道，因为推导起来只需要一些类比，不 是很困难的事情，像Hooke(弄弹簧的那个人)这些人都知道。当然，这个东 西的确是Newton自己做出来的。所以说，后来很多人对Newton通过苹果得到 这个感到不忿，尤其是Hooke，因为Newton用到了他的关于圆周运动的知识。 这个时候，Halley(哈雷彗星的那个哈雷)出现了。他对Newton敬若神明，深 信整个欧洲只有Newton能说明为什么行星的轨道是椭圆的。Newton于是通过 平方反比定律，解了那个著名的微分方程，终于推导出了行星的运动规律。 这件事情Hooke他们绝对干不了，他们的数学远不极Newton, Newton的原理的 前言就提到说这些书不是写给那些不懂数学的人看的，主要就是针对Hooke, 据说Hooke的确看不懂。 发信人: ukim (四年一觉燕园梦), 信区: SMS 标 题: 卖自制的小书《 Heroes in My Heart 》 发信站: 北大未名站 (2002年07月13日21:42:29 星期六), 转信 三年前看《原生》，如今终于自己订了一个小册子。
内容和BBS上的区别不大，甚至没有区别，只是多了一个插图，少了 一些错别字。 现在有100本，一本一共将近70页，3块钱吧，工本费。 要的话到37#104，不要re信箱。 发信人: yjyao (poly), 信区: Mathematics 标 题: Comments on "Heros in My Heart(1-10)" 发信站: 日月光华 (Sun Jul 14 01:49:43 2002) 看到ukim同志的东西，除了发点议论外还打算做点注。
1.Bernoulli家族从整体上说应该是非常显赫的。数学史上应该算是
绝无仅有(最近北大BBS上有个同志列了张"父子兵"的表，很不完全) 而且今天的世界变化多端，很少有家庭没有代沟，能把学术传统延续到 第三代的恐怕实在是找不出来。 2.关于Euler求\zeta(2)的故事，在Polya的书(数学与猜想)里面有很好的描述。
3."Mathematics Today"里面有一句话一直让我感到很有意思，见Appel和Haken
的文章"One can never rule out the chance that a short proof of the Four-Color theorem might some day be found, perhaps by a proverbial bright high-school student."如果将来真有那么个人的话，希望是中国人。 4.Hardy对于他的数学没有用是比较自豪的。他和Littlewood的合作更加有意思。
他们合作的原则是很可以让今天对于排名和优先权斤斤计较的人比较脸红的: I . When one writes to the other,, it’s completely indifferent
whether what they wrote was right or wrong ; II . When one receives a letter from the other, he is under no
obligation whatsoever to read it, let it alone or to answer it ; III.Although it does not really matter if they both simultaneously
thought about the same detail, still, it’s preferable that they should not do so ; IV. It is quite indifferent if one of them had not contributed the
least bit to the contents of a paper under theircommon name. 5.Weyl在他写的Hilbert的悼词中说:伟大如Hilbert,他的成就还不及
Gauss和Riemann...但是我们这一代人中，没有人可以和Hilbert相比。 Weyl给人写评语据说功夫是非常深的。这就是为什么说学数学就要以19世纪 的大师们为榜样(照伍鸿熙先生的说法)。 De Branges在证明了Bieberbach猜想以后就一直在做Rienmann猜想，用纯 复分析的方法。 Connes和Bost曾经合作过考虑用非交换几何做，但是近七八年来似乎没什么 新的进展。 6.Wolfskehl奖的那笔钱在一战后德国的大规模通货膨胀里已经变得很不值钱了。
后来还是东拼西凑了一点才能算上一份像样的奖金的。 7.考大家一个小问题，Riemann在他的就职演说中是不是只讲了今天称为黎曼几何
的东西。 8.关于Klein在学术上的过早衰退，和他大量使用化学药品催眠有关。
9.Poincare是个开拓者，Arnold在法国买帐的以他为最。不过这位校友比较让人
尊敬的地方还有一个，就是对于教育非常重视(虽然Arnold很遗憾说他没有留下 一个学派，还得法国都是Bourbaki那帮人在唱戏)，曾经他分文不要的开了好几年的 天体力学就是为了不让这门课给砍掉。 10.Hilbert那种世界上没有人类不可知的东西的想法实在很令人佩服。
"We must not believe those who today with a philosophical tone and a hint of superiority in their voice, predict the fall of our culture and indulge in the "ignorabimus"(we shall never know). For us there is no "ignorabimus", and in my opinion especially not in the nature sciences. In the place of this silly "ignorabimus", our motto should be on the contrary we must know, we will know." -- -------------------------------- Cogito Ergo Sum. -------------------------------- ※ 来源:．日月光华 http://bbs.fudan.edu.cn[FROM: 193.51.104.109] 11.Minkowski实在是死得很可惜。将数学史上这样因意外 事故去世的数学家还有一堆，天妒英才乎？ 12.Haar的地位和成就的确和Weyl很有点距离。大师的学生，助手， 或者看好的人未必能够成为大师，这句话怎么说也是对的。 对于故事"10".把李淼在他的网页上贴的一个故事转在下面。
ukim讲到Weyl 如何将Hilbert 学生的圈内人打败，追到一个女孩子。如果 这个女孩最终成为Weyl的太太，则说明Schrodinger更利害，因为他与 Weyl的太太有婚外情，这在当时是公开的秘密。 所以要和有诗人气质的物理学家保持距离，他连朋友的太太也不放过。
13.Ahlfors的工作的确很好，但是对于Douglas该不该拿
Fields可能就有点争议了，毕竟，那个时候起码还有一个 可以考虑的工作----Godel不完全性定理...... 14.你要说F.Riesz根本不看他兄弟M.Riesz的文章，多少是由点过了。
好歹他们还是以其写过一篇文章的。 M.Riesz在瑞典教出了起码两个好学生:Lars Hormander和
Lars Garding. 15.Landau的书是解析数论的第一本系统性著作。 16. Steinhaus的导师是Hilbert.他在很多领域都有很好的工作，
在数学教育方面也很有一套。Lvov的数学家寿终正寝与波兰的土地上的， 他应该算是为数不多的人中的一个。对于提问题有兴趣的同志 都可以看看Scottish Book(该书由四川科技的中译本) 17.不知道ukim有没有查一查地图，在海参崴换火车能够去什么地方？
不过话说回来，那里的风景据说很不错，有一篇S.V.Fomin得悼文里面 提到过这个(记不清楚是不是他本人就是在那里去世的) Poincare的视力很差。
18.像30年代的北大清华那样请一些国外退休的教授来讲课其实 是个不错的主意，应该说像Osgood,Sperner,Hadamard,等人在 中国的经历对于中国数学的发展还是有很大作用的，特别是像 Hadamard这样的大师，对于开阔当时中国为数不多的数学研究 从业人员的眼界还是起了很大的作用的。不过今天的同志实在 是比较急功近利一点。 希腊的数学家不少，但是希腊本土的数学实在没什么好说的。
19. "19"里面Hilbert的那段话的出处待考。
陈老太爷说过:非常可惜，S.Lie的文章现在已经很少有人会去念了,
因为都是德文的。 德国在梵文领域的研究水平非常之高，参见季羡林先生的文章，书等等。
20.优先权的问题实在是没什么意思。在这方面抱怨得最厉害的可能是
Arnold,而且他都是替别人抱怨:除开我的工作，我的同事，朋友和学生们 的工作，以及中国，印度这样的国家的数学家们的工作到了西方总是被 冠以别人的名字.... 21.广义相对论的确非常美妙，但是Einstein方程的精确解实在不是 那么容易找。Chandraseka写过一本"黑洞的数学理论"，里面就是按照 不同的借来分章节的，里面讲到那个Kerr(Kerr解是同时考虑质量和角动量的) 是个澳大利亚人，后来似乎是桥牌世界冠军。 从使公众承认的的角度来说，Eddington的工作实在是非常伟大。
没有他跑那么大老远去做测量，恐怕到今天也未必会有人靠广义相对论 得诺贝尔奖。 22.对于Einstein这个人，历来有很多很像神话的故事。应当说，一些 后代的大家的评论还算是中肯的，就是在他的晚年，他已经和现代物理的前沿 脱节了。虽然说今天做大统一理论的人都会说这是Einstein晚年最喜欢的东西, 以证明这工作的意义（特别是对于外行）。 Einstein为人很好，也很喜欢帮忙，但是问题是到后来谁叫他写推荐信都
有求必应，导致他的推荐信反而不值钱了。 22.vN那个时代的人离开欧洲大陆多半有很深刻的原因，和当时的政治环境 有着不可分的关系。 23. 许多在美国的数学家其实都是匈牙利人，比如Halmos,Lax,等等。 24.vN是到晚年才一不留神去做计算机的，他在数学上的成就主要在分析方面。
他的论文集里面有关于逻辑的，关于赋范环的，关于算子理论的，关于调和 分析的。 25.vN没得过匈牙利数学竞赛的奖，据他自己回忆，说是该他参赛的那年他 正好出过度假去了。 26.Ulam是应用数学大家，有小道消息说想出氢弹原理的其实不是Taylor而是他， 信不信由你了。在他的"一个数学家的经历"（上海科技出版社的大学数学丛书里面 最不数学的一本）里面根本上就在陈述他对两位同志的景仰之情:Banach和vN. 关于vN的晚年，那里面有很多第一手资料。 27.Galois死于政治谋杀(稍微夸张一点的说法)，不应该算作身体重要的论据。
Abel刚刚过了200岁生日(六月在Oslo有一个很大很热闹的Abel Bicentenary), 他和Pascal处于缺医少药的年代，放在今天未必会早夭。Riemann因家累有点 操劳过度的味道。身体重要的例子还试举我们本国的好，张广厚，钟家庆， 龙瑞麟，陆家羲，等等，等等..........再说回来，如果许宝禄先生身体不 是那么差他的论文集也不会就那么17篇文章。 de Moivre还做过一些极限定理的东西。
28.Pascal14岁的时候法国有什么“高级数学家”？
研究哲学，或者神学，是欧洲的传统，等到科学上的创造力有所衰退了去做点
别的，和中国的“不为良相便为良医”差不多。 29.很多时候年纪越小创造力越高，比如那个著名的Gelfand讨论班，其对象是
“好的中学生，...和最优秀的数学家” Cauchy的老爸是法国参议院的秘书，所以他很小的时候就有机会接触法国最
大的科学家。Lagrange曾经对他的同事们(Monge,Laplace,等等)说过， 注意那个孩子，他将超越我们中的每一个人。Lagrange不让Cauchy学数学的 理由是，他肯定会被迷住，那样对于一个孩子来说会很快把身体搞垮的。 应该让他好好学点其他东西。这和某些老师主张小学生大可不必学数学有 相似之处。 30. Benoit Mandelbrojt要是只画了几个图，名气是绝对不会有今天这么响的。
Goursqt的分析是经典，不管什么领域一旦有一个经典以后必然意味着 很长一段时间里面什么东西都被这经典压着，特别是教材。Bourbaki开始 要写Element de Mathematique也就是觉得当时的经典都太古老了， 具体点出的就是Goursat的分析。 今天的中国的确是太浮躁了。
31.Lebesgue关于他的测度和积分的论文去年过了百岁生日。 Compte Rendu de l'Academie des Sciences上专门发了原文的 复印件和Malgrange以及Lebeau等人所做的注。 在1935年，Picard是法国科学院的终生书记，Bourbaki的第一篇作品
出来的时候，想了半天还是不敢交给他。最后还是通过H.Cartan的 父亲E.Cartan转给法国科学院的。(长久以来，大多数科学院的规矩是， 在院报上发的文章都要有一个院士推荐)。 32.Lindemann后来做的事情主要是一些翻译工作，包括Poincare的一些
文章。曾经，我国数学界是非常重视翻译的，很多经典著作其实都有中译本， 但是今天，我们的科研体制大大限制了这样的工作。其实对于学生，这是很重要 的，大家不妨作个试验，在脑袋发胀的时候，拿本外文书和一本中文书来， 看看哪本更容易看进去一点。 33.Rota在MIT是同时被数学系和哲学系聘的。他的中国学生有两个，
目前在南开的陈永川和在TAMU的颜华菲(Catherine Yan). 有谁看过Wiener那本"昔日神童"的？
34.Galois考试不通过这件事情后来还是闹了一把的，因为这些考试的记录都是
有案可查的。反正今天在Polytechnique的简介上是把Galois两考不中列在上面的 (曾经有先生评论，Rockfellor就不会把他们在双螺旋结构发表前把Watson赶走 堂而皇之地写出来)。 当年教Galois的中学教师后来教出了Hermite(一个因身体残疾而被劝退的校友).
35.Cauchy对于宗教和王室的热情和他童年所看到的法国大革命的血腥很有关系。
关于他的故事，Men of Mathematics里面有一些不错的介绍，还有本书就叫 Cauchy,可以一看。 Arnold至今对于Hermite等人在Polytechnique和巴黎大学教书时的
课本赞不绝口，认为讲授的都是那个时代最好的数学。98年陈至立来的时候 Polytechnique校方把几本Monge,Hermite的书作为礼物送了出去，也不知道 现在这些书在我们教育部的那个角落里面堆着。 36.西方人学法语的优势更多的是在文化背景方面的，Anglo-Saxon语系
和拉丁语系还是有很大区别的。今天常往法国跑的美国数学家里面大概 V.Jones的法语说得算是非常不错的，A.Weinstein还马马虎虎。 至于那位著名的同性恋者Bryant,他是这么说的，我要是讲法语的话呢， 估计你们要花很长很长时间才能理解我说了点什么，但是有一点例外， 就是我从做学生的时候开始Cartan的名字就是按法语念的。 S.Mandelbrojt后来顶替了Hadamard在College de France的教席。
被他击败的是A.Weil.这也成为S.Mandelbrojt最后退出Bourbaki的缘由。 37.Hadamard有收集东西的嗜好一点也不奇怪，后来他的外侄孙L.Schwartz收集
蝴蝶的兴趣也是一级。他们家不大的地盘里堆了两万个蝴蝶的标本。 Hadamard也写过中学教材，非常经典的平面和立体几何(他的那两本书的附录实在太困难了
， 立体几何部分我相信今天绝大多数数学系的学生学了空间解析几何以后对于二次曲面的了 解 也不及那本书写的多)。对于他这样一个不那么喜欢写东西的人来说是很少见的， 有一本他的传记几年前刚刚出版，写得据说不错。他的三个儿子全部死于二战， 他有一个女儿思想非常左倾，这就是为什么他老人家的最后一本书是在中国出版的。 当时中法还没建交，所以手稿似乎是通过中国驻瑞士大使馆传递的，国内方面应该是 吴新谋先生负责翻译成中文，书还没有出来老先生就过世了，所以吴先生还专门写了篇 前言介绍这个情况。最有意思的事情是法国人后来把这书重新由中文翻译成法语。
所以我一直有点疑惑那书的法文手稿是不是还在北京的某个地方藏着。 P.S.Alexandrov在他写的E.Norther的悼文里面对于她最终没能去苏联所表示的
遗憾很有意思。 Montel是他们那辈人中活得最长的，当他以99岁高龄去世以后Bourbaki里的人才
"占领"了法国科学院的数学部。像Schwartz等人都是在得了Fields讲后很多年才 当选院士的，这和P.-L. Lions,Yoccoz这两个获奖当年就进科学院是很不一样的。 38.虽然一般都认为Lagrange是法国数学家，但其实他是意大利人，
不过他在法国的地位很高，大革命后驱逐外国人的时候还专门立法 说Lagrange不在此列。 关于Weil和Cartier故事的出处我很有点疑问。鉴于Cartier1955年才
进入Bourbaki,我不知道这个问题是什么时候问的。反正可以肯定的是 那时候Hilbert早死了，Born(或者Bohr?)也差不多了。再说回来，要求 一个本质上作代数几何和数论的人对量子论很清楚多少有点苛刻。 Cartier是个很有意思的人，显然是很聪明的，懂的东西也很多，学生不少。
但是似乎没有能够建立起一套完整的理论和一个自己的学派。这说起来 多少有点可惜。 关于Weyl的“时间空间和物质”，据说Sommerfield很不喜欢。
39. Legendre是个比较倒霉的同志，他做了很多工作，但是好像无一例外的
被Gauss盖过了。于是乎到今天我们可以看到的似乎也就是Legendre符号和 Legendre多项式。 40.Kodaira98年去世以后Spencer写了篇文章纪念他，很有意思。
他这样的生活其实很正常。 -- 41. Banach是个天才，他们出版的那本数学基础能够主动采用外文写作 也是很不简单的。当然今天我是更希望看到人们能够多用中文写点东西。 苏格兰咖啡馆的故事在Ulam的书里面讲了不少，还可以看看某期的
the Mathematical Intelligencer,那里面有照片什么的。当时他们 经常是把草稿打在桌子上，然后告诉老板说帮他们把这张桌子留着...... 看看Ulam的书，看看有多少人是死在同一天的，那应该算是波兰数学史
上最悲惨的一天了。 42.Stone对于芝加哥大学数学系的建设所起的所用是不可替代的。 甚至可以用Stone Age来描述那个时代，那个有Weil和陈以及许多其他人的时代。 关于父母对于子女的评价，曾经看到过一个很有意思的极端。Schwinger的母亲
甚至在她的儿子得了Nobel奖以后还是觉得他比不上他做律师的哥哥。 43.Newton和Leibniz关于微积分的优先权的争论所带来的后果对于英国
的数学是灾难性的，所以一般来说争论优先权不是什么好事。 Hardy教书应该算是很好的，他做reader的时候初版的纯粹数学教程也能
算上二十世纪的经典了。后来一直到他成为英国数学界泰斗的时候还在 不断修订。今天的中国对于教材的建设似乎放到了一个前所未有的低水平， 写一本课本的工作量很多时候还不及交一门课， 在这样下去是真的可以歇菜了，还谈什么世界一流大学？ 44. Erdos对于钱财的不在乎是出名的，因为反正他不缺钱花。不过只要是人
还是会有弱点的，某次他在法国南部突然生病以后所表现出来的感情还是 让很多人很吃惊的。 Thurston能够把低维拓扑和单复变里的东西联系起来让但是即将退休的
两个领域的一帮大老们都非常满意。但是Serre是公开表示过对于此人的 不满的，觉得他做的东西离证明还差得很远，不知道算什么东西。 45.S.Mandelbrot到后来有个学生叫Steinheimer,以色列人，在法国定居，
他的论文的实际指导者是比他大不了两岁的Moshe Flato.他们和Frohlich等人 开创了deformation quatization这个今天很火的领域。 46.最早的女数学家应该是那瞿每槭奁じ畛商踉傥Ц霭朐驳氖裁磁酰呛恰?
47.18世纪的时候我不知道欧洲有什么地方算是科研机构，不要忘了 只是在20世纪科学研究才成为很多人的谋生手段的。 48.Polytechnique只收男生的历史到1974年才结束。不过在1968年以前除了
波旁王朝复辟时期和二战期间外，这都是一所军校，所以不收女生也属正常。 Germain的故事在Simon的关于费马大定理的书里面有所介绍。 49. Nother的职位问题的确是反映了一种男女不平等的传统的。在哪个国家都一样。
法国科学院要到1979年才接受第一位女院士Choquet夫人(作为Leray的学生，她的 功力的确是一点都不给她的老师丢脸的). E.Artin给王湘浩先生的论文题目做出来也就做出来了，给Tate的题目就能让他做出真正
开创性的工作。我们不得不承认，很多老一辈科学家在留学的时候还是面对一些有意无意
的歧视的，虽然他们的语言能力和对于中西文化的理解比今天的留学生要好很多。
50. 做学生的时候排名第一第二的实在没设么有趣的，林语堂先生曾经说过让傻瓜 去得第一吧，所以他老人家身体力行就经常拿第二。 51.很多大题目的确是一旦完全解决就会有一堆人没饭吃的。
二十世纪八十年代初就有两个典型事例，一个是有限单群分类， 当然现在说是有问题，另外一个似乎没什么问题的是 Bieberbach猜想，de Branges算是把人得罪到家了。 比较近的比如Gowers,把Banach空间理论算是做死了。 现在回想起来，vN代数的分类问题没人去做和Connes那篇论文 做得太多了也很有关系。 52.Whitney转行的事情的确很神，他的那篇关于流形的拓扑的
文章也是经典。另外的转行成功的人物 比如说Bott,原来是学电工一类的东西的。 53.音乐和数学同样是人类心灵的创造，数学家喜欢音乐一点也不奇怪，
况且西方社会又有传统放在那里，所以并不是因为这些人是数学家才有 那么高的音乐水平的，人口中的自然比例而已。可能对于我们来说， 本国的数学家多才多艺之处看到的太少，脑子里面徐迟的文章的影响 太大(凭着一点此人就该死)。中国的数学原理里面有红学家也有诗人。 54.关于Gauss的那个故事是从哪里听来的，这种事情还是查查清楚再写出来，
事关人家的名誉。 Nash的精神状态一直是那么神神叨叨的，据陈老太爷说他曾经在养病期间
发现了如下定理: 欧洲有四座大城市正好位于正方形的四个顶点上。
前些日子偶尔听到Thibeault Damour跟Choquet夫妇讲起，
说Nash回忆Dieudonne在某个时候 曾经写信给他邀请访问IHES,问是不是还能找到邀请信的底稿。答复是不太可能。 55.把Leray算作Bourbaki的创始人恐怕他自己也要跳起来说不答应， 具体的情况是他在Bourbaki开第一次代表大会的时候就已经退出了。 此后他和Weil的关系一直很不好，这在Cartier所写的纪念Weil 的文章里面有精彩描述，尽管这两人绝对可以说是二十世纪法国 最大的数学家。Leray早年做流体力学，后来做层论和谱序列， 最后做多复变的表示公式，每个方向上的工作都是开创性的。 当然他的问题是写出来的东西往往不是很好懂。 查1924年高师的在校学生名册，你可以看到很多后来的大数学家以及...
Jean-Paul Sartre和Raymond Aron. 56.Titchmarsh和闵嗣鹤先生互教语言的事情感觉比较有趣。 见赵慈庚先生写的闵先生的纪念文章。 Gibbs现象在菲赫金哥尔茨的书里面有介绍，
如果大家不想去找Fourier分析的专著的话。 57.谱系学是一件让人非常头疼的事情，很多时候只有靠慢慢留心积累
才会有比较全面地认识。 最要命的事情是很多东西是不见诸文字的，非道听途说不能知道。 58.关于数学家工资等等，Notice of AMS往往有专文加以分析。
Littlewood教学生的办法比较省事，就是给学生一个难题，但凡活下来的都是好样的。
59.不理解Dreyfus事件就不能算了解19世纪末的法国。中文写的关于这个故事的 材料以柏杨先生的大作为最佳。 Bourbaki是个希腊名字，按照该小组中的正宗希腊人Skandalis的说法，
他们希望以此体现出数学 起源于希腊。至于Nicolas,那是Eveline Weil起的(她的改嫁直接导致 Rene de Possel退出Bourbaki). 60.Koebe在复分析方面的工作可以说是非常重要的，至于他的小故事，
据说两次大战之间在整个德国都很有名。 61.Kronecker做生意是经营家族事业。
Brouwer和Hilbert不和，但是没记错的话Weyl却算是直觉主义的追随者的。
62.按照项武义先生的说法，Poincare的那几卷关于天体力学的著作本质 上是一个失败的证明，或许吧。Arnold对于他老师给他的题目说过不知 多少话，基本思想就是说从炮制文章的角度，当年他们不屑于做的东西在 几十年后都有人做的乐颠颠的(具体的例子好像是什么动力系统在心血管 里的应用) Moser或许后来入过美国籍，但是从他的经历上说还不能算个完全的美国数学家的。 63.Henri Poincare的兄弟Raymond Poincare一战时做到法国总统。
不过政界人物和数学并不是毫无关系的。Poincare当年在法国的名声 绝对不仅仅限于数学界。 数学界人物从政的典型(我国的不算)包括Petrovsky
(苏联最高苏维埃主席团成员)， Painleve(法国总理). Fejer1905年刚刚从Budapest跑到匈牙利的领土上。
64.Kolmogorov做历史出身这件事情似乎仅见于Arnold讲的故事，信不信由你。
65.数学家是人不是神，只要是人会干的事情数学家都会干，
没什么不正常或者说值得大肆吹嘘的。 66.Thom在法国数学界行政方面似乎很不得志，当然他本人在得了Fields奖
以后也基本上就在逐步往哲学转向，见他十年前在西班牙的一个演讲稿。 Thom和施维枢先生关系很好，施先生是Cartan的学生，可惜我到法国太晚， 他是98年夏天去世的，据说他的梦想就是有一天中国能够恢复盛唐时的景象。 施先生退休以后不久据说Thom就生了一场大病，到现在我也没见过他。 --
-------------------------------- Cogito Ergo Sum. -------------------------------- 发信人: yjyao ((A,H,D)), 信区: Mathematics
标 题: 关于"Heros in :y Heqrt" 发信站: 北大未名站 (2002年07月18日04:34:06 星期四) , 站内信件 既然各位对于转载我的文章比较有兴趣的同志漏了这一篇，
我就补充补充自己贴出来吧: 应该说ukim写这些东西是花了不少功夫的。其中的故事也的确很引人入胜。 在这里只是想指出以下几点： 1.这里所写的只是数学史上的一些片断，从了解这些故事到了解整个数学史 还有很多的路要走，在取材方面仍然有值得商榷的地方，这里的故事绝大多数 娱乐意义大于教育意义，希望大家在阅读的时候能够注意到这一点。 2.这里所引用的材料多半是第二手或者更间接的资料。我想等过些年ukim 能够接触到更多第一手资料的时候，他能够写出更有意思的东西。 3.数学不只是那些定义公理定理等等，还包括做数学的人以及他们之间乃至 他们和不做数学的人们之间所发生的形形色色的故事，了解这样一些非学术 化的东西有助于避免将历史上的名人神化。任何的大数学家都是从小学生走过来的， 多了解一些他们做学生的时候的事情或许对于后人有更多的借鉴意义。 同样，任何的大定理总是有其背景的，了解这些背景（很多是不见诸于文字的） 无疑也是有益的。希望今后有同志可以写写这方面的事迹。 数学·tips从公元前330年，希腊的Alexander the Great征服美索不达米亚开始，到基督诞生，这段历史时期成为塞留卡斯时期（Seleucid period），因为Alexander死后，希腊将领Seleucus开始统治这一地区。
巴比伦数学基本都在塞留卡斯时期以前。
楔形文字本名是阿卡德文字，附加在较早的苏默文字上，每个字含有一个或多个音节，每个音节用楔形表示。cuneiform 是从拉丁文cuneus（楔）而来。
巴比伦数字系统以60为基准，有进位记号。3604记作“1个60的平方 + 0个60 + 4”。1/2，1/3，2/3在巴比伦人看来是一个整体单位，不是“1”的几分之几。
他们的乘法是这样的：乘以37=（乘以30+乘以7）。 他们的分数更有意思：1/7，1/11等，都要化成60进制分数，比如1/4，就要写成15/60。 他们能够计算5元一次方程组。 埃及人也很有个性，他们计算乘法的思维是这样的：
１２Ｘ１２ １ １２
２ ２４ ４ ４８ ８ ９６ ——所以１２Ｘ１２＝４Ｘ１２＋８Ｘ１２ ，根本上不同于１２Ｘ（１０＋２） 再说他们的除法： １９／８
１ ８
２ １６ １／２ ４ １／４ ２ １／８ １ 因为１９＝１６＋２＋１，所以１９／８＝２＋１／４＋１／８
他们的分数，利用一个数表，拆成一些“单位分数”，全部使分子为１，比如： ７／２９＝１／６＋１／２４＋１／５８＋１／８７＋１／２３２
埃及人所有的数学运算都没有推导，直接给出结果。比如，他们会说“你看，结果就是ＸＸＸＸ”，而不给出任何原因。 11/17/2005 数学资源之——特别推荐很感谢这个网站，让我感到相见恨晚。其实我并不是专业学习数学的，可是这个网站教会我很多。
——————-本Blog主人
中文数学专业网站:博士家园 http://www.math.org.cn http://www.bossh.net 数学资源之——其他数学资源（补3）中小学数学教育中文网站推荐 浙江省杭州第九中学 龚 雷（网名：田雨） 转自K12教育社区数学分坛 一、大型综合性教育网站 大型综合性教育网站，一般都相当不错。但由于有些网站中关于数学的内容不多，或者没有专门的数学栏目，在本文不作特别介绍。好在这些网站大都知名度不小，用一般的搜索引擎均能查到，这里精选了3个： 【1】网站名称：K12教师频道 网页地址：http://www.k12.com.cn/teacher/ K12教师频道是中国教师的网上家园。这里有最新的教育调查和教改动态，教育教学资源交流平台：论文库、教案库、试题库、软件库、素材库；有为一线教师们度身定做的网上私家花园——教师个人专辑；还有为促进教育类杂志信息化同时解决教师投稿问题而特别推出的杂志空间栏目。所有资源可以按学科分类搜索。这是为全国各地教师开辟的、一个自由广阔的网络交流空间。 【2】网站名称：中国基础教育网＿数学频道 网页地址： http://www.cbe21.com/subject/maths/ “中国基础教育网”（简称“中基网”）是由教育部基础教育课程教材发展中心与北京师范大学共同创建的，面向全国基础教育工作者、学生、家长的专业服务平台。数学频道的主要栏目有：“教学参考、课程资源、在线题库、竞赛园地、互动天地、数学史料、课外数学。其主办者的特殊地位使其资料具有“权威性”，质量非常高。“在线题库”非常全面；“互动天地”中的数学课件既可以下载看也可以在网页中打开。笔者个人认为这是中学教师必备网址之一。 【3】网站名称：人教网 网页地址：http://www.pep.com.cn 这是由人民教育出版社主办的一个非赢利性网站，其专业性、可读性很强，特别在课程标准和教材的理解上更具有权威性。其数学板块分“中学数学”和“小学数学”两块，中学的主要栏目有：“教材介绍”、“课程教材与信息技术整合课题”、“疑难解析”、“热点信息”、“习题精粹”、“教学参考”、“数学长廊”、“数学文萃”、“数学家小传”，小学的主要栏目有：“教师之家”、“学生天地”、“家长之友”、“小数研究会”。 二、教育产品企业网站中的数学专栏 这些网站有雄厚的资金和技术来保证质量，笔者化了大量时间从中精选出了2家： 【4】网站名称：洪恩在线＿动感校园 网页地址：http://www.hongen.com/edu/index.htm 由北京金洪恩电脑有限公司（教育软件开发商）推出的洪恩在线自称“依据‘以最先进的技术手段改变教育’原则，将金洪恩公司对素质教育的理解与知识的传播延伸到网上”。其中，“动感课堂”中给出了一些Flash格式的数学课件，适合学生自己动手操作、观察，教师也可从中学习参考与新课程教学理念相适应的件教学软件设计思想。但这些课件只能直接在网页中打开，无法下载。“科学殿堂”中的数学栏目有“数学趣闻、数学史漫谈、文明古国早期数学系列”等数学知识可供查阅。 【5】网站名称：中鸿网 网页地址：http://www.zhihongnet.com/ 可能有不少人知道《优化设计》、《临考磨枪》、《学海导航》这些教学辅导丛书，但知道“中鸿网”的人可能就不如知道这些教学辅导丛书的人多了。它们都是由“北京志鸿教育研究中心”开发的。网上资源有部分是免费的，但许多精彩的部分是需要收费的。关于这些资源的特点，相信知道《优化设计》的人都很清楚，不用我多介绍了，喜欢这些教学辅导丛书的教师不妨上这个网上去看看，也许可以淘上一些你所需要的宝贝。 三、学校网站中的数学专栏 【6】网站名称：浙江省新昌中学＿数学组 网页地址：http://vip.6to23.com/xzmaths/ 现在很多学校都有自己的网站，几乎每一个学校网站都有数学专栏。这些学校网站大同小异，一般来说，建站较早的网站中资料积累较多，也就比较完整。“浙江省新昌中学数学组”是在学校网站中建站较早的一个，我愿意把她作为学校网站的一个代表介绍给读者。在主要栏目（新中试题、会考试题、高考试题、竞赛试题、FLASH课件、几何画板课件、教学论文、优秀教案）收集了该校数学组历年收集的教学资料，并可免费下载。 四、数学教师个人网站 现在的数学教师个人网站有很多，要从中精选出一些来是一项大工程。我只能在个人了解范围内作一个选择。在此特别要提一下“数学联盟”（http://www.dsjy.com/lm/luntan/index.asp。），这是一个中国数学网站的站长联盟，也许会发展成一个很有实力的网络联盟，但由于笔者对此了解不深，因此没有在以下作详细介绍 【7】网站名称：中国数学在线 网页地址：http://www.mathfan.com"; target="_blank" >http://www.mathfan.com （ ((提供的新域名） “中国数学在线”无论在资源内容上，还是在网站技术上都相当优秀的，看一下网页上对数学教育资源的详尽分类，就知道这个网站的资源相当丰富。其主要栏目有：在线研究院（研究性学习、网络与多媒体、数学建模），网上学堂（几何画板、学法指导、 同步导学、 互动画板），双语教学，学术中心（课题研究、 教学理论、 教材教法），数学天地（数学名人、数学与文化、趣味数学），高考竞赛（高考信息、高考专栏、竞赛专栏） 【8】网站名称：求师得教育实验室 网页地址：http://www.chinamaths.net “求索教育，择善固执；师从万物，传承创新；得道网络，时空互联！”这是这个网站对站名“求师得”的诠释。在众多的数理网站中，这是非常有特色、相当专业的一个：一群拥有现代教育理念的青年、几何画板的“发烧友”正在这里构建中国的《几何画板互动教程》，站长对“互动”的解释是：通过协作和信息的共享，彼此帮助的过程中互相提高，通过分享自己的经历经验体验为别人受益，同时在付出换来自己更大的提高。喜爱几何画板的教师如果没有上过这个网站实在是一大遗憾！ 五、小学数学网站 为小学数学网站作一个专门介绍，这是因为现在很多数学教育网站中有关小学的内容不多。 【9】网站名称：小学数学网 网页地址：http://www.mathcn.com/ 这是小学数学信息和资料的发布、交流、分类、储存的网络平台。它以“开放、共享、互助”为建站理念，主要栏目有：“新闻点击、同步课堂、经验技巧、课件交流、精彩题库、奥赛专栏、智益游戏、本站专题”。小学老师们可以把自己的教学资料、课件等上传上去与同行交流地（需要进行免费注册，但注册手续相当简便）。网站提供了比较方便的资料搜索，在“新闻点击”栏目下的“本站新闻”中有详细介绍上传资料的方法。 【10】网站名称：数字乐园 网页地址：http://numbersky.myrice.com/ 主要栏目有：趣味数学（小学生趣味数学、数学家的故事、数学童话故事），动漫游戏（在线游戏、益智游戏、趣味游戏、游戏壁纸、游戏屏保），童话故事（狮子王、拇指姑娘、小红帽、两个半愿望、画眉嘴国王），幽默笑话（开心一刻、儿童笑话、校园幽默），智力体操（益智故事、脑筋急转弯、火柴游戏、智力小测验），小学教育（教育法规、教案精选、数学教学、课程标准、教学随笔），家庭教育（家教资讯父母课堂 名人家教 亲子游戏）、智力论坛。这是一个很有特色的小学数学网站。 六、科普网站 我个人特别喜欢科普网站，它们可以拓宽数学教师的视野。当前在实施新课程标准的过程中遇到不少问题，教师的学科视野狭小可能也是一个不容忽视的问题。因此我在这里特别推荐几个科普网站。 【11】网站名称：大科普网＿数学天地 网页地址：http://www.ikepu.com.cn/maths/maths-index.htm “大科普网”这是一个开放式、公益性科普资料网站。在其“数学天地”中有以下几个主要栏目：“数学史话、数学分支巡礼、数学大师殿堂、世界数学名题、数学科普图书、数学网站推介”。任何热心科普工作的朋友都可以为其提供资料信息，提供资料的朋友可以成为其股东。目前网站资料还尚未完善，站主希望能在网友的提供下逐步完善。如果要查一些学科知识，可以上这个网站查查看，当然如果你希望这个网站对你更有用，最好一起来为其提供资料。 【12】网站名称：三思科学杂志 网页地址：http://www.oursci.org/mag.htm 一群在网上结识、从来没有见过面的朋友业余办起一本《三思科学》电子科普杂志。共同的科学信念，希望能为科普工作做一点工作。他们对科普写作的追求是：“严肃活泼，深入浅出”。每期都有一些高质量科普作品，其中也不乏数学方面的，对数学教师拓宽学科视野很有帮助。这本杂志不但是全免费的，而且欢迎广大朋友传播，只要在保持完整和不用于商业用途的前提下，可以下载、打印或者复制。显然这种非盈利的运用方式不可能向作者支付稿酬，他们为科普事业献身的精神让人肃然起敬！ 【13】网站名称：科学月刊全文数据库 网页地址：http://www.lib.ntptc.edu.tw/ct/default.htm 《科学月刊》是台湾的一家科普杂志，《科学月刊全文数据库》将1970年至1999年各期内容做成网页，以下是1970年第1期中有关数学的几篇文章标题：《数学探津兼论数学中的形式主义》、《费玛数列》、《距离？图形？几何？》、《韩信点兵》、《数学界的神秘人物》，从中不但可以读到很多数学科普文章，还可以浏览相近学科的科普知识。与祖国大陆的科普文章相比，台湾的科普文章有其独特的视角和行文方式，值得一读。可惜其搜索方法笔者尚未成功使用过，不知是网站的技术问题，还是笔者的使用水平问题。 七、港澳台地区的数学教育网站 由于历史的原因，港澳台地区的数学教育有着与祖国大陆完全不同的特色。数学教师可以通过这些网站了解有关数学教育的另一种思路，可以作为大陆网站的一种补充。 【14】网站名称：教育资讯站 网页地址：http://www.edp.ust.hk 这是香港的一个大型综合性教育网站。“数学”栏目办得很不错，很有特点，其中“数学史”栏目内容丰富、史料翔实，“中国数学史年表”更是一个相当实用的、在其他网站少见的珍贵资料。“教师之家”也很不错。其“资源中心”有“图片廊、互动教材、录像馆、好书分享、讲义、书笺、数学谜语、心意咭、数学疑难、教材、”等十个小栏目，都很精彩，在一般的网站是很少能看到的。“相关网址”栏目更是把数学的很多网站加以分类整理，聚集了很多网上的数学资源。 【15】网站名称：数学教育网 网页地址：http://home.pchome.com.tw/education/mathedu/ 在台湾的各种数学教育网站中，这个网站也许并不算很有名，但它吸引我眼球的主要原因是以上几个很有特色的栏目：数学六个W（让动画明星樱木来说明数学的what、why、how、when、where、who），数学教师（提供一些台湾地区的中学数学网络资源链接，从这里可以走向台湾数学教育的网络天地），数学五四三（有关数学一些杂七杂八的资料），数学名人堂（世界各国的数学家），数学玩玩（用程序写的小游戏），数学五千年（数学史的点点滴滴），数学应用（电子计算器），数学HTML（介绍在网页上设置上、下标等常用的数学网页语言）。 八、数学教学论坛 严格地来说，数学教学论坛均不是一个独立的网站，但本人对此却情有独钟。我的“网络时间”绝大部分被论坛所占，借用一下百度“贴吧”的广告词，论坛让我们把头脑中的知识、想法和经验与大家分享，它不是网上“已存在”的有限信息，而是人类头脑中那些互联网上“没有”的无限信息。因此，我把“数学教学论坛”作为本文的“压台戏”推出，向大家介绍三家本人常去的数学教学论坛。 【16】网站名称：K12数学论坛 网页地址：http://sq.k12.com.cn/bbs/（这是K12论坛主页地址，数学论坛的地址很长，读者可以通过这个主页地址进入数学论坛） 【17】网站名称：教育论坛＿理科教学论坛 网页地址：http://www.eduol.com.cn/web-ia/bbs/（这是教育论坛主页地址，其中没有专门的数学论坛，但理科教学论坛有很多数学讨论，读者可以通过这个主页地址进入理科教学论坛） 【18】网站名称：人教论坛 网页地址：http://219.235.40.40/lb5000/（这是人教论坛地址，其中数学论坛分高中、初中与小学几个分论坛，读者可以通过这个主页地址进入相应的数学论坛） 这三家论坛各有特色，“K12数学论坛”凭借K12在网上的影响力，人气较旺，有很多数学教师、学生以及数学爱好者在此讨论有关数学和数学教学的问题；“教育论坛＿理科教学论坛”以其特有的人文气息聚集着一批思想活跃的数学教师，是教师间交流的好处；“人教论坛”凭借“人民教育出版社”的权威影响，人气也不错，除小学论坛外，初中高中论坛上的学生比教师更多。我个人认为：“K12数学论坛”的师生间交流较多、“教育论坛＿理科教学论坛”以教师间交流见长，而“人教论坛”的学生交流更有特色（小学论坛上的教师交流比其他两个论坛更多）。 补： 试题类： 1、2004年全国各地中考试卷大全（不断更新) http://sq.k12.com.cn/bbs/index.php?t=msg&t...rt=0&rid=827655 其中还有java作得关于尺规作图的趣题也满不错的~这是我的收藏之一 http://steiner.math.nthu.edu.tw/ 找不到尺规作图？ 在这里 http://steiner.math.nthu.edu.tw/cabriworld.../compasses.html 跳出思路的陷阱：http://www.aicnet.com.tw/student/web/aic_4/aic_2/home.html 数学资源之——其他数学资源（补2）富有特色的数学网站大观 http://www.aw.com/ide/index.html 这是美国Addison Wesley Longman出版公司属下的一个网站， 提供了该公司出版的大量微分方程教材的实时模拟实验。 对于一些常见的常微分方程，你可以在这个网站看到物理 实验的网上模拟和相应动力系统的相图变化。类似这样的 网上模拟在美国许多大学甚至中学已经成为多媒体教学的 一部分进入课堂，深受学生欢迎。这里的实验包括各种振动 模型(二次常微分方程)，生态方程组和混沌模型等。网站 的程序是由Java语言编成的，虽然它也在市场上定价出售， 但是你可以在网站上免费欣赏所有精彩的动态模拟。 http://math.vanderbilt.edu/mathserv/index.html 这是美国Vanderbilit大学数学系和商学院联合建立的一个网 站。在这个网站上，你可以运行各种微积分和常微分方程 的基本运算：你输入所有必要信息后几秒钟内，不管多复杂 的运行结果和图象都会马上显示在计算机屏幕上。网站的 数学运算功能是建立在著名数学软件Mathematica基础上的， 可以说这是一个简单的网上Mathematica计算机器(它并不是 一般意义下的计算器，它的功能比计算器强得多)，但是你 不需要花天文数字的价钱购买Mathematica，甚至不用懂得 Mathematica的编程方式，所以对于数学或者各种理工科工作 者来说，这是一个好极了的工具。它的功能包括定积分和不定 积分，微分，极限，因式分解，牛顿法，二维和三维函数 绘图，解各类基本常微分方程等等。 http://mathgenealogy.mnsu.edu/在一些国家，...贤嗣强梢?/a> 在网 上查到他们的祖宗八代。而数学家常常也把自己的博士导师 称为他们的“数学父亲”，这样自然也就有了数学家的家谱。 一个可搜索的数学家家谱已经开始在美国明尼苏达州立大学 建立起来了，一半以上的美国大学数学系为它的建立提供了 它们的博士毕业生的历史资料，现在这一网站已经搜集了历 史上48294位数学家的“出生身世”。例如我们如果查一下 希尔伯特(David Hilbert)的数学家史，我们可以发现他本人有70个学生，而 他的“孙子”，“重孙”等等全加起来到现在为止是5304个。 而考究希尔伯特的祖先，我们可以发现很多显赫的名字： 克来因(Felix Klein)，李普希兹(Rudorf Lipxxxxz)，迪里赫莱(Gustav Dirichlet)，泊松(Simeon Poisson)，傅里叶(Jean-Baptiste Fourier)， 最后追溯到拉格朗日(Joseph Lagrange)。而拉格朗日看来是 自学成才的了。目前这里还没有包括任何在中国大学毕业 的数学博士资料，希望在不久的将来我们也可以在这里 查到这些资料。 ArXiv 数学预印本网库 http://front.math.ucdavis.edu/ http://arxiv.org/ 网络和电子邮件的出现大大改变了人们用传统邮件交换信息的方法， 数学论文和书籍的交流方式也因此出现了根本变化。由于今天大多数 数学家都使用TEX等计算机排版软件写论文，使用网络和电子邮件传递 论文甚至专著都不是困难的事情。同时数学家可以把自己还没正式发表 的论文放在自己的网页上，使得同行之间的交流大大加快。一些有心人 (在其他数学家准许下)把这些预印本搜集起来，就建立了一个预印本网 库。目前这样的网库已经有不少，其中最大的就是这里介绍的设立在美 国洛斯阿拉莫斯国家实验室(Las Alamos National Lab)的ArXiv 数学预印本 网库。上面第二个网址是网库总站(也包括物理，非线性科学，计算机科 学等的论文预印本)，第一个网址是数学方面的一个界面。目前(截止2001 年12月5日)这里收存的最新数学论文已有17180篇，在12月5日这一天就 有近二十篇新论文进入了网库。预印本网库是论文电子出版的一种方式， 在国际数学界许多人已经开始讨论什么时候所有论文出版发行完全在网 上进行-----从互联网的迅猛发展来看，这一天也许已经不远了。 数学搜索(澳大利亚悉尼大学数学学院) http://www.maths.usyd.edu.au:8000/MathSearch.html 在网络生活中最常用的工具恐怕就是搜索器了。如果我们想在 网上查一查关于某个特定内容的资料，那么一般我们会使用搜索器， 打入需要查的关键词，搜索器就会把它所能查到的网站列出来。 国内常用的搜索器有网易(netease.com)，搜狐(sohu.com)等等，国际 上常用的有Google(google.com)，雅虎(yahoo.com)等等。但是这 些搜索器都是一般通用搜索器，而这个澳大利亚悉尼大学数学学院 建立的搜索器是专门搜索数学方面材料的。比如说你如果想查某 个数学家的信息，但是这个数学家的名字又太普通，那么用一般搜 索器查出的结果很可能会有许多不相干的链结，这时你就不妨试试 这个数学搜索器。例如你在这个搜索器打入“Hilbert”(著名数学 家希尔伯特的英文名)，那么几分钟内你就能找到他的传记，他 1900年数学家大会的著名演讲原文，甚至许多以他命名的定理和理论 的内容。 数学世界 http://mathworld.wolfram.com/ 从国际互联网诞生的那天起，许多人就想把世界上所有网络信息 都编在一个目录下------全世界的网上信息尽在掌握之中，这是多么 吸引人的想法啊！事实上在互联网的婴儿时代，这是可以做到的， 因为当时全世界的网上信息就在有限的几个机器上。在今天网上 信息超指数式增长的今天，这恐怕已经比登上火星更困难了， 据统计，即使是世界上最全的目录Google(google.com)，雅虎(yahoo.com)等 也不过最多列出了全世界不超过百分之二十的网站网页。作为 数学工作者，我们也希望能有数学方面的网页目录大全。这个名为 数学世界的网站(Eric Weisstein's World of Mathematics)也许是几十个这 样网站中较好的一个，目前这个网站属于著名的数学软件公司 Wolfram Research(他们的产品是Mathematica)。这个被称为“网络数学 百科全书”的网站收录了10,141 条信息，88,200条参考文献(网址或 图书杂志)， 和几千幅彩色图片，实时动态模拟软件。在这样一个庞 大的数学数据库中，可以说每个数学工作者都可以在浏览搜寻中 学到新的知识，了解到新的动态吧。 美国普林斯顿高等研究院(http://www.ias.edu/ 从二十世纪三十 年代起就是数学的一大中心。从他们的网站可以了解研究院 的近期活动，还能下载许多名家高手近期演讲的录像和讲稿。 另外两个历史悠久的数学中心是瑞典的米塔戈莱夫勒数学研究所 (http://www.ml.kva.se/和法国的高等科学研究院(http://www.ihes.fr/。 从八十年代初期，欧美各国相继建立了一批新的数学中心。 其中较早的是陈省身教授等创立的美国伯克利数学科学研究所 (http://www.msri.org/。读者可以在这一网站上看到几乎所有近 年来的数学演讲录像，还可以下载所有研究报告的预印本。 稍后建立的有美国明尼苏达数学及其应用研究所(http://www.ima.umn.edu/， 英国剑桥牛顿数学科学研究所(http://www.newton.cam.ac.uk/， 德国普朗克数学研究所来比锡分院(http://www.mis.mpg.de/ 和波恩分院(http://www.mpim-bonn.mpg.de/，加拿大菲尔兹数学科学 研究所(http://www.fields.utoronto.ca/，加拿大太平洋数学研究所 (http://www.pims.math.ca/等等。 在北美地区最新的两个研究中心是美国洛杉玑加大纯粹和应用数学 研究所(http://www.ipam.ucla.edu/和加拿大班夫国际数学变革和发现 研究站(http://www.pims.math.ca/birs/。值得一提的是将于明年正式启 用的后者， 是一种新式的数学研究场所。这个研究站座落在风景 优美的加拿大班夫地区，将专门用做举办短期集中的数学研讨和教育。 亚洲各国的数学活动近年来也空前活跃。主要的数学中心有中国 科学院数学与系统科学研究院(http://www.amss.ac.cn/，日本京都数学科学 研究所(http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/，中国台湾中央研究所数学研究所 (http://www.math.sinica.edu.tw/和印度孟买塔塔基础科学研究院 (http://www.tifr.res.in/ 等等。 在数学王国中最吸引人的莫过于百年难解的著名猜想了。 一些著名的猜想，如黎曼猜想，费尔马大定理，庞加莱猜 想等等，无论解决与否，都指引了新的数学发展方向。 近年来最引人注目的数学猜想新闻来自美国的克雷数学研究所 (http://www.claymath.org/。在新世纪开始的2000年，克雷研究所 由一流数学家组成的学术委员会提出了七个他们认为最重要的数学 问题， 其中包括刚才提到的黎曼猜想，和庞加莱猜想。同时克雷研 究所对这七个问题的解决每个都悬赏一百万美元，在数学界及公众 媒体中都轰动一时。在克雷研究所的网页，大家可以下载这七个问题 的准确描述，和由七位相应的数学家对问题的解释的录像。 (http://www.claymath.org/Millennium_Prize_Problems/ 值得注意的是这七个问题并没有包括我国数学爱好者熟知的哥德 巴赫猜想。我国数学家陈景润，王元，潘承洞曾经在这一问题上做 出了世界领先的结果，但是猜想仍然没有被最后解决。事实上世界 上对哥德巴赫猜想感兴趣的人还大有人在，与克雷问题几乎同时， 英国法布出版社也悬赏一百万美元给在两年内解决哥德巴赫猜想 的人。 (http://www.apostolosdoxiadis.com/million.htm 这个出版社似乎有些炒作嫌疑，而现在问题解决期限已过， 因为没有人提出领赏，奖金大概也就不了了之了。哥德巴赫猜想 和相关的数论方面的猜想可以在这个网页 (http://www.utm.edu/research/primes/notes/conjectures/找到。另一个 数论网页大全是 (http://www.math.uga.edu/~ntheory/web.html 克雷研究所的问题在某种意义下模仿了1900年数学大师希尔伯特 提出的二十三个问题。这些问题至今仍然未被全部解决，问题们的 现状和相关内容可以在以下网页找到： (http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/ (http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/problems.html 另外两本关于希尔伯特问题历史的专著也刚刚出版，详情请看出版社网页 (http://www.akpeters.com/book.asp?BID=160 (http://www.oup-usa.org/isbn/0198506511.html 在被解决的猜想中最著名的要算费尔马大定理了。在这个猜想最后被 英国数学家Andrew Wiles解决后，这一定理的历史和最后证明已经在互联网上 被总结了。请看(http://math.albany.edu:8010/g/Math/topics/fermat/。然而一个 更一般的猜想现在又开始被悬赏了，这就是所谓比尔猜想，它包含了已解决的 费尔马大定理。一位美国的企业家兼数学爱好者比尔(Andrew Beal) 捐资十万美元 将要奖给解决这一猜想的数学家。(http://www.bealconjecture.com/ 未解决的数学问题大大小小,许多问题也并不知名。有不少数学爱好者还把这些 问题搜集归纳成网页，有兴趣的读者可以在网络上搜索一下。其中比较有名的 一个是(http://www.mathsoft.com/mathresources/problems/0,0,00.html) 最后我们应该提到的是一些数学家自己也喜欢象希尔伯特那样列出一个问题清单。 在网上可以找到最有名的大概是美国数学家斯梅尔几年前提出的。 他的问题集实际上是一篇论文 (http://www.amath.washington.edu/courses/572-spring-2002/smale.pdf) 华裔数学家丘成桐也多次提出过几何方面的未解决问题，但大部分都没有在 网上出现，可以找到的是台湾一个网站上的十个问题 (http://bbs.ee.ntu.edu.tw/boards/Physics/14/58.html。 数学新动向 (http://www.ams.org/new-in-math/ 这个由美国数学会编辑的网页介绍每个月在美国数学界乃至全世界数学界的最新动向。 这个象杂志一样的网页包括每月一篇新专题介绍，当月数学在大众媒体中出现的新闻或 文章，和新的数学科普文章文摘等等。例如在2003年五月的网页上介绍了著名的庞加莱 猜想的最新进展，第一届阿贝尔数学奖等等。在最新数学文摘中，读者还可以看到四月 十六日上华盛顿邮报关于非典型性肺炎数学模型的介绍。这一网页的创立是为了使广大 普通数学爱好者也能了解数学高深理论的最新进展，以及使大众了解数学对社会进步的 巨大作用。 科学搜索 (http://www.scirus.com/ 这是一个专门搜索互联网上和科学有关内容的搜索引擎。它与其他常用的搜索引擎不同 之处是它的搜索结果会自动略去非科学内容，另外它还能找到相关内容的科学论文。这 对于想搜索一个数学问题的数学工作者来说非常有用---你只要打入一个关键词，那就 能 既查到相关的网站网页，同时还查到了有关的学术论文。 数学历史文献电子文库 (http://historical.library.cornell.edu/math/ 这个座落在美国康耐尔大学图书馆网站中的电子文库收藏了许多珍贵的数学文献，大多 是二十世纪以前数学专著和论文集。这个文库是免费供给所有数学工作者和数学历史学 家使用的，只是大多数文献是法语和德语的。例如，对天体力学和动力系统感兴趣的读 者 可以在这里找到庞加莱的三大卷关于天体问题的名著原文。读者也可以找到希尔伯特， 黎曼，克来因等大师的原著。 女数学家传记 (http://www.agnesscott.edu/lriddle/women/women.htm 数学一向被认为是男人的领地，女数学家只占很少一部分。但是这种状况在世界各地都 在 逐渐改变。从这个网站大家可以读到有史以来几乎所有著名女数学家的传略。从最早的 姬亚 (毕达哥拉斯的妻子)到近代的柯瓦列夫斯卡娅，诺特，我们可以领略到女数学家非同凡 响的 风采。一些现在还活跃在数学界的女数学家，如乌伦贝克，麦克杜甫等还自己撰写了自 己 人生事业的文章，对于还在成长阶段的我国年轻女数学家可能会有启发。我国女数学家 胡和 生院士，华人女数学家张圣容，金芳蓉和 Lai-Sang Young的传记也被这一网站收入。 数学会议是数学家们交流成果信息的最重要的方式. 参加合适的学术会议 对于青年数学家的成长是非常重要的. 找到合适的会议主要靠各个数学分支 的数学家之间的私人联系, 但是消息再灵通的数学家恐怕也比不上互联网 知道的多. 美国数学会(AMS)是世界最大的国家数学会, 在它的网站上有一个比较好的会议信息 时间表. http://www.ams.org/mathcal/这一网页不仅介?..Щ岜旧碜橹幕?/a> 议, 也列出了在许多其他国家召开的会议的信息. 美国另外两个数学组织, 美国工业与应用 数学协会(SIAM) 和美国数学协会(MAA) 也各有介绍它们自己组织的会议的网页: http://www.siam.org/meetings/calendar.htm和 http://www.maa.org/meetings/meetings.html. 欧洲数学会也有相应的网页: http://www.emis.de/conf/announce.html. 当然在这里 可以找到 更多欧洲的数学会议. 世界最大的数学国际会议:国际数学家大会(ICM)的 信息可以在国际数学联盟(IMU)的网站找到: http://www.mathunion.org/ICM/index.html 由各个国家数学会组织的会议的信息往往可以在那个国家的数学会 网站找到, 这里就不一一列举, 各个国家数学会的网站联接可以在这里找到: http://www.ams.org/mathweb/mi-sao.html 除了各个数学会提供的数学信息, 一些独立机构现在也在网上提供数学会议信息. 比较 著名的要算加拿大的Atlas数学会议提要(AMCA): http://at.yorku.ca/amca/conferen.htm 这个不仅列出各个会议的网上信息, 同时还提供网上上传会议报告摘要的服务. 许多 会议现在使用他们的服务, 从而省去了自己编辑报告摘要的繁琐工作. 他们列的会议 往往和美国,欧洲数学会列的各有千秋, 都值得搜寻一番. 另一个寻找会议的办法是从数学会议中心的网站来找. 德国的Oberwolfach数学研究所 ( http://www.mfo.de/) 是欧洲最重要的数学会议中心, 而北美洲今年也成立了加拿大 班夫 国际数学研究站 (http://www.pims.math.ca/birs/. 这两大会议中心每年都有连续不 断的 小型会议和讨论班. 世界各大数学研究所也定期举办各类会议和特别学术年. 数学研究 所,研究中心的网站可在这里找到: http://www.ams.org/mathweb/mi-inst.html, 另外 也可以 参看本专栏2002年第二期的介绍. 最后值得一提的是我国国内的会议信息可以在中国数学会网站( http://www.amss.ac.cn/cms/ 和中国科学院数学与系统科学研究院网站( http://www.amss.ac.cn/) 查到 . 1. 法国的数学杂志IHES Publ.等电子版。（free） http://www.numdam.org/en/ 2. 德国的数学文献 http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/index.html 位于哥廷根，免费下载，但禁止批量。包括（正在更新中） 3. 波兰数学杂志（免费） http://matwbn.icm.edu.pl/ 这里面有些很好噢，可惜网页是波兰语。 4. Retrodigitized Mathematics Journals and Monograph Contains links to 1790 digitized books (> 303591 pages ) and to 115 digitized journals (> 2353226 pages). (Numbers of pages are preliminary; not all informations are already available http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~re.../dml_links.html 5. ams book http://www.ams.org/online_bks/online_subject.html -- 6. 非常好的电子资源 南开大学数学图书馆电子资源 http://202.113.29.9/ 强烈推荐 剑桥大学出版社的杂志（有用户名密码可下载全文） Russian Math Survey等有光盘，国内下载 http://www.wjedu.cn/grwz/jhhb/ “21世纪数学网”————http://www.21maths.com/index.asp 数学资源之——其他数学资源（补）数学学会: 数学资源之——其他数学资源 资源列表：
数学资源之——代数、数论、组合数学代数、数论、组合数学>代数: http://www.comlab.ox.ac.uk/oucl/users/jona...an.bowen/algebr 代数和计算科学简史--英国牛津大学计算实验室。 http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/ 北伊利诺伊大学数学系的抽象代数在线资源，有通常称之为抽象代数学领域的许多定义和法则。 http://www.clifford.org/journals/jadvclfa.html 应用代数学进展期刊，包括研究论文和短文、书评、会议信息等。 http://library.advanced.org/11479/ Challenged. - 代数学和三角学。 http://www.algebrawizard.com 代数主页，包括有关代数产品、E-MAIL新闻组等相关内容。 http://www.algebra-online.com Algebra Wizard的代数学在线，提供代数学及数学其他领域的各种相关信息。 http://members.aol.com/algbrahlp/ 美国在线（AOL）公司的代数在线资源，包括课程，指南、工作表、公告、资源等在线信息。 http://www.seanet.com/~ksbrown/ialgebra.htm - Kevin Brown SeaNet的数学主页，其代数学下提供多个课题内容。 http://www.algebra-online.com/ 代数在线主页，为学生、教师、家长以及其他相关人员提供免费代数在线服务。 http://www.sosmath.com/algebra/algebra.html Dept. of Mathematical Sciences, Univ. of Texas at El Paso 德克萨斯大学数学学院的代数学主页。 http://www.cut-the-knot.com/algebra.html Alexander Bofomolny主页上的算术与代数学的杂记和谜题等。 http://analytica.com.au/ 澳大利亚的Analytica国际公司，一个为数学团体提供咨询和培训的公司。 http://www.mathematik.uni-kl.de/~zca/Welcome.html -德国Kaiserslautern大学的计算代数学主页，提供数学、计算机科学及电子工程领域的新闻、链接等内容。 http://www.can.nl/ 荷兰的计算代数信息网，提供代数学领域的新闻、著作、软件和教育等信息。 http://www.derive.com/derive.htm Math software for Windows/DOS. Major Capabilities of DERIVE: Arithmetic; Algebra; 2D and 3D Plots; Calculus; Vector and Matrices; Functions; Programming; Input/Output. Menu-driven Interface. http://www.math.technion.ac.il/iic/ela/ 意大利国际线性代数协会的线性代数电子刊。 http://www.math.miami.edu/~ec/book/ - 抽象与线性代数原理的联机全文电子书，提供4种阅读格式： PDF、 DVI, PS（Postscript）和PSGZ（gzipped Postscript）. http://www.cs.bgu.ac.il/research/Fields/ 以色列的算术学电子档案网站，提供算术域、高斯定理、域模型理论和相关主题的电子文稿. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/histor...of_algebra.html 苏格兰安格鲁大学数学与统计学系的代数学基本原理网页，提供代数学的各种历史档案。 http://www.math.lsa.umich.edu/~jmilne/ J.S.Milne的代数主页，包括群论、域论、高斯理论、代数几何学、代数算术理论、模函数，模表示、 椭圆曲线、阿贝尔变换等的文稿和课程笔记等。 http://www.clifford.org/ 国际代数协会主页，提供会议、书评等信息。 http://www.math.vanderbilt.edu/~msapir/cgi...i-bin/visit.cgi Mark Sapir个人主页上的线性代数网页，提供线性代数的网络书和测试指南以及其他信息等。 http://www.shells.demon.co.uk/Math101.html 马里兰大学欧洲部的现代代数学主页，包括现代代数学的目录、代数学课程的概要文本、软件、教育资源等内容。 http://home.earthlink.net/~stapel/resource.htm Elizabeth Stapel的数学主页，属于Brader Bryce出版社，提供数学的主要是代数的各类资源。 http://www.salford.co.uk/mathematica/index.html 英国的索尔福德数学软件公司，提供数学咨询与培训，相关链接以及其他信息等。 http://www-physics.lbl.gov/~rncahn/book.html 半单李代数和它们的表示--Robert Cahn的书稿. http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Han.../speedmath.html Stimulate your mind with a approach! - Jakov Trachtenberg关于数学系统的介绍. 基本公式作为背景图. http://www.homestead.com/stroh/mathpage.html Stroh数学主页，提供各种数学帮助，尤其是代数学的相关资源。 http://www.webmath.com WebMath主页，属于www.discovery.com，其代数学方面提供了代数学各个领域的资源信息，如不等式、多项式、方程、线性代数等。 http://www.math.uga.edu/~andrew/ 乔治亚州立大学数学系教授Andrew Granville的数学主页，包括数论研究、组合数学和算术几何学等内容，提供数论方面的在线电子刊浏览。 http://www.math.uiuc.edu/Algebraic-Number-Theory/ 伊利诺伊州立大学数学系代数数论档案网，在英国还有镜像站点，包括代数数论方面的各种讨论课题。 http://www.maa.org/BLL/numtheory.htm MAA（美国数学协会）在线的数论主页，包括数论的各个分支领域研究、工作组、研究课题等内容。 http://www.math.umbc.edu/~campbell/NumbThy...sicNumbThy.html 马里兰大学数学与统计学系主页上的《计算数论学基础》，Robert Campbell提供。 http://forum.swarthmore.edu/orlando/klatt.orlando.html The Math Forum MathWare的主页，提供电子书、新闻、软件等在线资源。 http://math.la.asu.edu/~jj/dnt/ 亚利桑那州立大学数学系数论探索主页，提供网上基础课程等内容。 http://www.jiangmen.gd.cn/person/chen/chenhome.htm 当今国际上关于等幂和问题的最详尽的网页，也是国内首个数论网页，已经被国际上多个权威数论网页LINK入。 http://www.academicpress.com/ffa 美国学术出版社的在线电子刊-《有限域和它们的表示》。 http://www.perfsci.com/free/giantint/index.html Perfectly科学公司的GiantInt免费软件网,提供算术及数论领域的相关软件等信息。 http://www.research.att.com/~njas/sequence.../JIS/index.html T的整数序列期刊，一个在线的专注于证书及其相关课题研究的期刊主页。 http://www.academicpress.com/jnt 美国学术出版社的在线电子刊-《数论期刊》。 http://www.math.ohio-state.edu/Groups/JNT/- 俄亥俄州立大学数学系的《数论期刊》。 http://www.informatik.tu-darmstadt.de/TI/LiDIA/ 德国的计算数论图书馆，包括相关的新闻、在线文献和软件等内容。 http://www.maths.usyd.edu.au:8000/u/magma/ 悉尼大学数学与统计学系的计算代数学小组的计算代数系统主页，一个关于代数、数论和几何学的主页，提供新闻等相关信息。 http://front.math.ucdavis.edu/math.NT ArXiv组织的数论前沿主页，包括许多最新的在线数论论文。 http://www.ams.org/mcom/ 美国数学学会的在线电子刊-《计算数学》，提供计算数学方面的论文等内容 http://www.seanet.com/~ksbrown/inumber.htm Kevin Brown的数论主页，提供数论领域的各种论题。 http://www.maths.uq.edu.au/~krm/web.html 数学资源之——几何、拓扑几何与拓扑:几何学 http://forum.swarthmore.edu/advanced/geom.html 有关几何学网络导航站点，包括了一些最好的几何学进展的网络资源，有：网站、软件、互联网项目、出版物及公共讨论论坛。 http://www.people.memphis.edu/~brveteto/ 有关数学史,特别是几何学历史的教学网站。 http://forum.swarthmore.edu/geometry/coll....l.geometry.html 推荐并链接了一些最好的大学几何的互联网资源，包括：教学资料、软件、互联网项目、公共讨论论坛。 http://compgeom.cs.uiuc.edu/~jeffe/compgeom/ 一个综合的有关几何学信息资源的个人网站，内容详尽，分类清晰，包括了几何学的出版物、软件、站点推荐、有关的研究活动学术时间等。 http://www.geom.umn.edu/~dwiggins/mainpage.html 几何猜想:一个为大学几何专业设立的交互性资源网站。 http://www.fh-lueneburg.de/u1/gym03/homepa...ri/dyngeosy.htm 德国网站。动态几何系统的特征与对照，包括：特征、材料、注解、软件、课程。 http://graham.main.nc.us/~bhammel/MATH/geomdef.html 群的方法作 http://graham.main.nc.us/~bhammel/MATH/geomdef.html 几何学摘要注解及阐述。 http://forum.swarthmore.edu/dynamic/sketch...d.weblinks.html 这个网页连接到动态交互的几何画板网络资源。其中包括课程介绍辅导、课程资料、学生作业和其他综合的信息。 http://www.e-notebooks.com/products/geometrica/ 一种为数学教员、研究人员和制图人员设计的画图软件。 http://www.ics.uci.edu/~eppstein/geom.html 该网站搜集了一些在现实世界的各种领域里，离散和计算几何的应用方法和例子。 http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/ 有关几何学的新闻组剪辑、网络站点指南、讲演记录、论文、文摘、研究摘录和其它有关离散和计算几何的资料。 http://www.geom.umn.edu 明尼苏达大学的数学研究和教育中心。提供包括几何学的最新研究项目、交互网络、Java 应用程序、多媒体文档、几何学的参考资料库、下载软件、视频产品、课程材料及MnSCU/UM远程教学开发等。 http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/...ndex/51-XX.html 一篇几何学的综述性文章，介绍了几何学的历史发展、应用和相关概念及分支领域，如古典欧氏几何学、非欧几何学、解析几何、影射几何、代数几何、微分几何等等，推荐了这方面的教科书、参考书、辅导材料、软件和专门站点。 http://www.geom.umn.edu/docs/reference/CRC-formulas/ 引自第30版CRC标准数学图表公式，涵盖了所有几何学、微分几何领域，比较完全的搜集了几何定义、公式、表格、图表，分为平面几何和立体几何两大部分和细分为多边形、坐标系、多面体、球体等16个小部分。 http://www.maths.warwick.ac.uk/gt/ 数学学会主编的几何学、拓扑学的国际性杂志，有印刷版和免费电子版，主要发表有关几何学、拓扑学及其应用方面的研究论文。 http://www.geom.umn.edu/docs/forum/forum.html 这里发布的是数学作家 Evelyn Sander and Bob Hesse的一些论坛文章，选自Swarthmore大学几何研究中心设立的网上几何论坛。 http://www.neuro.sfc.keio.ac.jp/~aly/polyg...on/polygon.html 日本Keio大学致力于几何信息资源发布的网络文件系统，包括手册、指导材料、几何数据、可下载的软件、互动的软件演示、网络资源指南等。 http://forum.swarthmore.edu/dynamic/geomet...etry_turned_on/ 一本有关介绍几何动态软件的图书及相关程序。 http://www.geom.umn.edu/software/geomview/docs/ 一种三维可视化软件，用于显示与制作几何图形。 http://forum.swarthmore.edu/dynamic/classroom.html 交互式几何网上教室, 可供下载多种动态几何软件及教学资源。 http://camel.math.ca/Recreation/kabol/knotlinks.html 加拿大数学学会主办的数学电子信息服务网站，专门搜集数学站点，从1996年开始，每周推出一个新的站点。 http://archives.math.utk.edu/tutorials.html 田纳西州立大学主办的数学学科导航站点，为数学专业的老师和学生提供网上的参考资料，涵盖数学各个学科主题，包括：几何；代数… http://www.ies.co.jp/math/java/index.html 用Java程序来演示许多几何学原理。 http://206.4.57.253/pubs/books/subject_index1.html 美国数学学会书店书目数据库，可以查询，每种图书包括说明， 学科范围：代数、分析学、应用数学、微积分学、几何拓扑学； http://forum.swarthmore.edu/powgrepform.html 由数学论坛主办的一个几何难题探讨网站，如果你有一个值得探讨的几何题目，可以向该网站投稿，该网站将从来稿中选出每周一题并邀请全球的数学爱好者参与讨论。 http://www.math-net.de/links/show?collection=math.pub 介绍数学电子出版物的网页, 包括数学期刊、参考书目，数学期刊又分为一般期刊、电子期刊、专题期刊等部分。 http://www.mathbookshelf.com/ 数学图书参考数据库，所收录的范围覆盖大学级到研究级的数学图书。 http://www.maths.usyd.edu.au:8000/MathSearch.html 悉尼大学的数学和统计学文献服务器，有90，000多篇文献可供检索，主要是研究性的文献。 http://www.geom.umn.edu/docs/ 几何中心的多媒体文档，包括有超文本格式的会议录、研究论文，有许多电影动画等。 http://problems.math.umr.edu/ 数学问题数据库，有两万多个具有挑战性数学问题，选自38种数学期刊和每年举行的20多个数学竞赛。 http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/open.html 有关几何问题的网站链接，带有评注。 http://www.netmeg.net/faq/recreation/puzzles/archive/ 问题与疑难资料库，包括多种学科: 分析、算术、几何……. http://www.emis.de/ZMATH/ 欧洲数学学会主编的数学数据库, 可以按著者、题目、分类检索论文的文摘。 http://mathsrv.ku-eichstaett.de/MGF/homes/...thmann/car.html 一个免费的几何制图软件，可以模拟实现圆规、标尺的制图功能。 http://www-cabri.imag.fr/index-e.html 一个有名的几何软件，1988年曾获得苹果公司颁发的“苹果奖”，该软件可以作为中学几何的教学软件，同样重要的是可以作为大学几何、和数学家研究工作的辅助工具。 http://www.cabri.net/cabrijava/ Java beta版的Cabri程序，可以用来创建动态的几何图形并发布成Java程序。 http://www.best.com/~xah/PageTwo_dir/MathP...thPrograms.html 一个数学爱好者的个人网站，包括几何历史、概念、公式，网站有大量的的图示、Quick Time电影，几何画板、数学笔记、软件程序，内容丰富而生动。 http://www.EMIS.DE/journals/JGG/index.html 有关几何学及图论的国际性期刊, 包括3个部分: 图论部分、应用部分及图论教学部分。 http://perso.wanadoo.fr/jean-sebastien.roy/isard/ 一个适用于Windows, PowerMac和Linux系统的动态几何软件。 http://www.math.uvt.ro/dumitras/polyhedron.html 立体几何的交互式应用程序，可模拟标尺、圆规、量角器和其它制图工具。立体图形可以被分割、旋转、组合，以多种方式显示。 http://www.math.neu.edu/~suciu/ 数学教学资源，有试题、作业、答案等，包括大学数学的线形代数、微积分学课程以及几何学和拓扑学的研究生课程。 http://www.maa.org/pubs/monthly.html 《美国数学月刊》的网络版，发表数学主页的研究论文，读者主要是大学生、大学教员、专业研究人员。 http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/brows...3600008-7001844 Amazon.com专业技术书店的最畅销数学图书，分类如下：应用数学；几何和拓扑学….. http://www.ornl.gov/ortep/topology.html 结晶群和单晶体结构的拓扑，介绍有关结晶群几何拓扑的应用指南。 http://www.geom.umn.edu/docs/doyle/mpls/ha...uts/node21.html 曲面的曲率----选自 研讨会“几何与想象”讲座稿中的一部分，文章给出了几何学中曲面的概念和解释。 http://www-math.uncc.edu/~droyster/ 南卡罗莱那大学数学系David Royster的主页，包括研究和学术论文：代数和微分拓扑学；数学教育中计算机代数系统的使用…… http://www.ma.huji.ac.il/~drorbn 以色列希伯来大学数学系教授Dror Bar-Natan's 有关拓扑学, 组合数学和量子力学的文章, 全文文件格式包括.tex, PostScript, and .dvi三种。 http://xxx.lanl.gov/ Los Alamos国家实验室有关数学的电子出版物重要站点, 包括alg-geom, funct-an, dg-ga, q-alg……多个独立的专题文档库。 http://mathworld.wolfram.com/ 一部综合性的数学百科，支持全文检索，提供数学术语、公式、词源、解释、举例、参考资料等的查询。 http://www-sccm.stanford.edu/FoCM/ 计算数学基金会的网站，旨在促进对数学分析、拓扑学、几何和代数学等数学学科与现代计算机科学深刻关系及其发展的认识。 http://www.uib.no/People/nfytn/mathgal.htm 数学曲面公式的图片与解释：Dini's曲面 ; Enneper's曲面 ; 三叶结; Klein 瓶; Dupin 四次圆纹曲面; Steiner's Roman曲面 ; http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/topo.html 有关拓扑学的网络链接、拓扑学的文件服务器、软件系统、演示文件、影像资料、研究项目等等。 http://www.maths.warwick.ac.uk/gt/ Warwick大学数学学院的几何和拓扑学的国际性期刊，包括几何和拓扑学的各方面问题。这个网站提供许多重要的期刊论文（PostScript 和PDF格式）、研究专著等。 http://www.maths.mu.oz.au/e-prints/GTpubs.html 澳大利亚墨尔本大学数学统计系的电子出版物的参考书目。 http://www.cut-the-knot.com/geometry.html 有95个关于几何拓扑学的难题和游戏，包括问题讨论和解决方案，需要使用支持Java的浏览器。 http://www.geom.umn.edu/graphics/ 明尼苏达大几何中心的图片资料库。 http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/hakmem.html 麻省理工学院人工智能实验室的网页，列出了一系列数学、计算机有关的问题，学科主题包括几何、拓扑等 http://www.iit.edu/~krawczyk/spcrv00.html Illinois Institute of Technology 建筑系讲师Robert J. Krawczyk的个人主页, 包括课程、研究成果、正在进行的研究项目、学生作业等，这里是他的研究成果：怎样构造空间曲线…… http://hopf.math.purdue.edu/pub/hopf.html 有关拓扑学的电子文档库, 收录一些免费的论文和预印稿, 文件包括dvi,ps, text或lj.gz文件格式, 可以用www或FTP方式访问, 同时收录了一些拓扑学的网站. http://www.teleport.com/~pdx4d/curriculum.html 超空间结构--探索四维空间, 作者Andy Burbanks 和 Keith Beardmore 关于基本拓扑学概念的解释. http://archives.math.utk.edu/images.html 田纳西大学的一个数学电子文档库，大量搜集了关于数学定理的图片，很多只有数学摘要，其他附有公式和数学模型的注释。 http://www.mcn.net/~jimloy/puzz.html 有关数字、几何、逻辑的难题集，附有问题答案。 http://www.wkap.nl/kaphtml.htm/JRNLHOME Kluwer学术出版社的电子期刊主页，学科包括数学，可以免费检索期刊文章的摘要。 http://www.naturalmath.com/mathbooks.html 有关数学的推荐书目，附有评注，其中每本书都可以通过最大的Amation.com网上书店联机订购。 http://www.math-net.de/links/show?collection=math.pub 有关数学电子出版物的网页，包括数学杂志和书目，分为电子期刊，综合期刊、参考书目、专题期刊和书目以及预印稿文档库。 http://archives.math.utk.edu/ 查找Internet数学资源的综合站点，尤其是对教学软件的搜集比较丰富，同时包括相关网站、电子期刊、预印本服务的链接指南。 http://shum.huji.ac.il/~marian/elementary_...y_problems.html Lafayette College的学生提出的20几个数学问题，包括算术、基础代数、几何、拓扑学等方面的问题。 http://www.ams.org/mathweb/mi-journals.html 美国数学会主页, 列出了网络上的数学杂志及印刷型数学杂志的网站, 包括期刊目次索引, 论文文摘, 论文原文, 投稿信息和订购信息等。 http://www.math.psu.edu/MathLists/Journals.html 宾夕法尼亚大学数学系主页, 列出了几十种数学杂志的网络链接, 如Academic press电子期刊图书馆的网站到Ulam Quarterly的主页都有列举和相关链接. http://www.maa.org/devlin/devlin_5_99.html 美国数学会Mathematical Association of America (MAA) 主页, Mathematical Association of America每年都要选出本年度最出色的美国大学数学教师, 这里是它选出的今年最出色的美国大学数学教师Devlin 的有关介绍。 http://www.math.psu.edu/MathLists/Preprints.html 宾夕法尼亚大学数学系网页, 收录了一些数学专业的电子出版物网站, 和预印本电子文档库的网络链接。 http://www.math.fsu.edu/~aluffi/eprint.archive.html 这里收录的是一部分佛罗里达大学数学系的师生最新撰写和发表的数学论文，按照时间顺序排列，可以免费浏览与下载，可以看到文章文摘和全文。 http://www.MathGuide.de/ 一个德国大学的数学网上虚拟图书馆, 包括数学各个学科主题的资源，包括：普通数学、分析数学、几何…… http://www.maths.usyd.edu.au:8000/MathSearch.html 一个有关数学、统计学的文献服务器，有超过90，000篇可检索的文献，主要是大学级和研究性的文献，可输入一个或多个检索词进行检索。 http://www.mathsource.com/ 一个内容丰富的数学资料和笔记的电子图书馆，有100，000个网页， 包括数学软件、文献、例子等等，可以按作者、题名、关键词进行浏览或检索。 http://www.math.fsu.edu/Science/Journals.html WWW VL: Electronic 数限资源之——概率与统计概率与统计 http://math.uc.edu/~brycw/probab/books/ 应用概率和随机过程网站，是由 Wlodzimierz Bryc 所上的联机课程（用DVI, PS和HTML格式）。 http://www.shef.ac.uk/uni/companies/apt/ 应用概率基金会是数学方面一个非赢利性的学习和研究基金会。它出版研究杂志、学生杂志和临时专刊。 http://www.geocities.com/~mikemclaughlin/m...Compendium.html 一个描述了很多普通概率分布及其特性的参考网站，包括 pdf, cdf等格式。 http://ubmail.ubalt.edu/~harsham/statistic...ics/REFSTAT.HTM 计算概率与统计资源。该网站除广泛覆盖有关计算概率和统计学的印刷本资源外，还做了很多有用信息的超链接，象杂志网址、社团组织、人物传记等资源。 http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_..._book/book.html 是《概率导论》一书的电子版，是由Charles M. Grinstead 和J. Laurie Snell所著的联机教科书（用PDF格式）。 http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/...ndex/28-XX.html 该网站提供了<<测度与积分>>的链接，是Dave Rusin的优秀数学集的一部分。 http://www.maths.uq.oz.au/~pkp/probweb/probweb.html Phil Pollett; Dept. of Mathematics, Univ. of Queensland, Australia 澳大利亚昆士兰大学的概率主页，收集人们感兴趣的概率理论及其应用的页面，概率链接、代数学、新闻组、职业、期刊、软件、书等等。 http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/...ndex/60-XX.html 概率理论和随机过程网站，是Dave Rusin的优秀数学集的一部分。 http://www.math.washington.edu/~prob/ 该网站提供了一些概率方面的研究论文摘要。 http://omega.albany.edu:8008/JaynesBook 是《概率理论：理科逻辑》教科书的电子版（用 PS 格式），该书由 E.T. Jaynes所著。 http://www.probability.net/ 是关于概率和方法论方面的联机指南。 http://www.math.toronto.edu/~pivato/latex/stoch/ 随机过程与随机积分，是由Marcus Pivato所上的联机课程。 http://www.cs.cmu.edu/~chal/shreve.html Steven Shreve 关于随机微积分学与金融的讲稿。概率论方面的注释由Prasad Chalasani和Somesh Jha完成，重点在于金融建模和买卖期权价格。 http://random.math.uah.edu/stat/ 概率和统计学方面的虚拟实验室。由Kyle Siegrist所上的交互式课程。 http://www.math.washington.edu/~ejpecp/ 《概率电子杂志》和《概率电子通讯》两刊的电子版，带有作者信息。 http://www.edpsciences.com/ps/ 是《ESAIM:概率和统计学》期刊的电子版。该刊创刊于1995年。该刊旨在出版概率和统计学领域的论文，既包括理论方面也包括应用方面。 概率学家： http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/histor...ians/Borel.html 测度论专家Borel的传记。 http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/histor...s/Cantelli.html 概率学家Cantelli的传记。 http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/histor...ratheodory.html 概率学家Caratheodory的传记。 http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/histor...cians/Doob.html 随机过程专家Doob的传记。 http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/histor...ians/Dynkin.htm 概率学家Dynkin的传记。 http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/histor...ians/Fatou.html 概率学家Fatou的传记。 http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/histor...ans/Feller.html 概率学家Feller的传记。 http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/histor...ans/Fubini.html 测度论专家Fubini的传记。 http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/histor...Kolmogorov.html 概率学家Kolmogorow的传记。 http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/histor...s/Lebesgue.html 概率学家Lebesgue的传记。 http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/histor.../Levy_Paul.html 概率学家Levy,Paul的传记。 http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/histor...ans/Markov.html 随机过程专家Markov的传记。 http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/histor...ians/Radon.html 概率学家Radon的传记。 http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/histor.../Stieltjes.html 测度论专家Stieltjes的传记。 http://www.eecs.umich.edu/~qstout/abs/Seattle97.html 该主页说明了适应性抽样对于很多高效的统计实验来说的优势所在，并讨论了密歇根大学在发展新的运算规则以帮助设计和分析这些实验所做的工作。 http://www.amstat.org 美国统计协会主页的美国统计资源在线。 http://dino.ph.utexas.edu/~wolf 贝叶斯统计与概率 http://ubmail.ubalt.edu/~harsham/Business-...tat/opre504.htm 《商业统计学》课程，一个基于网络的有关商业统计学方面各个主题的站点，对MBA学生比较有用，包括假设检验、统计分布、预测市场反应等等主题。 http://www.dartmouth.edu/~chance/ Chance数据库主页，该数据库包括很多设计好的资料，以帮助讲授机会课程或更多的介绍性的概率或统计学课程。 http://faculty.vassar.edu/~lowry/webtext.html 《推断性的统计概念和应用》，网上交互式的统计学教科书。 http://www.math.washington.edu/~hillman/entropy.html 在统计学和科学领域对熵的利用的专业站点。 http://www.unibas.ch/mdpi/entropy/ 关于熵的主页，主页上对在各学科中熵的作用、相关杂志、相关会议、有关熵的研究小组、相关软件等都做了链接。 http://www.spss.org/wwwroot/Vijay/vijay.asp software -有关统计学和SPSS软件的专家帮助网站。上面有一些为研究生和专业人士利用SPSS软件进行统计和经济计量学分析的资源。 http://davidmlane.com/hyperstat/ 介绍性的超文本统计学图书。每一章都包含有与相关材料的链接，象教育演示和基于网络的统计分析程序等。 http://members.aol.com/johnp71/javastat.html 该主页上列出的资源包括一个强大的、易于理解的、多平台的统计软件包，也列出了一些联机统计学图书、指南、可下载的软件及其它相关链接。一旦进入该网站，就可进行自由存取。 http://members.xoom.com/jsuebersax/index.html 该网站致力于为对潜在类别分析理论和方法感兴趣的研究人员和统计学家提供资源的站点。包括常见问题、人物传记、软件信息、各种链接及其它相关信息。 http://www.nsf.gov/mps/dms/stats.htm 国家自然科学基金会的统计学和概率计划。 http://www.outlier.be/index.htm 对统计问题提供咨询的网站。 http://www.multisimplex.com/simplexbook/ 《统计序列的单纯形优化》，关于提高研究、发展和制造业品质和生产力的再版电子教科书。 http://www.statex.qc.ca Statex统计咨询公司的主页。该公司是生物工艺公司在定量方法上的专家，是FIZZ软件在北美的发行人。 http://duke.usask.ca/~rbaker/stats.html 统计分析基本原理，主页上还有因特网统计研究软件、大英百科全书的链接。 http://ubmail.ubalt.edu/~harsham/stat-data/opre330.htm 一个基于网络的课程，涉及统计数据分析方面的各种话题，包括调查表设计和分析、抽样调查、预测技术、计算工具和示范。 http://www.wku.edu/~neal/statistics/stats.html 该主页包括对普通统计学的典型问题和解决方案，这些问题，象概率分布、假设推断、方差分析和相关性分析等，也包括详细的抽样调查方案。 http://www.kaspercpa.com/statisticalreview.htm 该主页有关于平均值、方差、协方差、随机变量期望值的基本规则。这些概要信息对于偶尔用到统计学的人或新生特别有用。 http://nilesonline.com/stats/ 该主页用简单的英语，描述了一些每一个人都应了解的统计学方面的基本概念。 http://www.statsoft.com/textbook/stathome.html 电子统计学教科书，该教科书在理解和应用统计学方面提供培训。 http://www.census.gov/ 美国人口普查署主页。 统计学期刊:http://www.mat.ulaval.ca/rcs 《加拿大统计学杂志》的主页。该刊由加拿大统计协会出版，季刊。主页上对订购信息，论文全文等都做了链接。 http://comst.wiwi.hu-berlin.de/ 《计算统计学杂志》的主页，上有对该刊宗旨、编委会、订购信息、版权信息及期刊目次信息的链接。 http://www.emath.fr/ps/ 《概率和统计学杂志》的电子版。 http://www.stat.uconn.edu/~ims/ 《数学统计学会杂志》的电子版。 http://interstat.stat.vt.edu/InterStat/ 该网址可以让大家发表和阅读统计研究和创新方法方面的论文。论文以PDF或PS格式放在网上，可以阅读或下载全文。 http://www.stat.ucla.edu/journals/jss/ 《统计软件杂志》的电子版。 http://www.stat.ncsu.edu/info/jse/ 《统计学教育杂志》的主页。主页上对该刊的订购信息、目次和文摘、文章索引等都做了链接。 http://www.pow2.sta.uniroma1.it/jiss 《意大利统计协会杂志》的主页，对编辑委员会、论文全文及意大利统计协会等做了链接。 http://jscs.stat.vt.edu/JSCS 《统计计算和仿真杂志》的电子版。 统计学家: http://UBMAIL.ubalt.edu/~harsham/index.html Arsham,Hossein的主页，他是管理科学和统计学的杰出学者、教授。 http://www.stat.lsa.umich.edu/~jphard/ 统计学家Janis Hardwick的主页，他致力于适应性取样、连续分析等相关领域的研究。 http://ourworld.compuserve.com/homepages/R...er/stathome.htm Rainer Wurlander的主页，他是德国人，是一家德国公司的统计顾问和IT经理。该网站旨在提供信息，并主要对统计学、邮件组、新闻组、统计学会和院系、统计软件等主题提供链接。 http://www.ilstu.edu/~gcramsey/ Ramseyer,Gary的个人主页，他是美国伊利诺伊大学心理学系教授，对统计学教学很感兴趣。 http://www-stat.stanford.edu/~owen/ Art B. Owen的报告、软件和课程，还做了统计学的很多链接。 http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Launchpad/6016/ 该站点致力于风险理论——概率和统计学理论应用于金融和保险业的分支，包括风险评估、破产理论、风险度量及相关主题。 统计公司:http://www.aasdt.com/statistics/ 应用分析系统统计学集团，该公司致力于统计规划、咨询及统计学研究。 http://www.research.att.com/areas/stat/ AT&T统计学研究室。 http://cm.bell-labs.com/cm/ms/departments/sia/ 贝尔实验室统计和数据采集研究部。 http://www.hurterassoc.com 对应用统计学和实验设计提供咨询,重点在于利用统计学高效地解决问题。 http://www.matstat.com/ MartStat研究咨询公司，利用万能的经验研究设计原理和强大的现代统计学方法，去帮助研究人员去计划、执行和解释科学研究项目。 http://www.stat911.com Milliken联合有限公司，是今天研究开发和制造业的统计学顾问。 http://www.westat.com WESTAT公司的主页，是一家研究公司，以高质量的统计设计、数据收集和整理及研究分析工作而著称。 统计组织:http://www.amstat.org 美国统计协会的主页。该网站为统计学家、教育家以及任何对数据分析技术感兴趣的人提供了许多资源的链接。 http://www.math.ruu.nl/bernoulli/ Bernoulli数理统计和概率协会主页，它是国际统计协会(ISI)的一部分。 http://www.pitt.edu/~csna/ 北美分类协会（CSNA）的主页，它是非赢利性组织，旨在促进分类和聚类的科学研究（包括从数据中产生分类的系统方法），从而传播相关领域的科学和教育信息。 http://www.stat.unipg.it/iasc.html 国际统计计算协会的主页，它是国际统计协会(ISI)的一部分。 http://www.insee.fr - 法国国家统计局。 http://www.icsa.org/ 泛华统计协会的主页。该协会是一非赢利性机构，致力于教育、慈善和科学事业。它正式成立于1987年在旧金山举行的统计会议上，与统计领域相关的个人和机构都可以成为其会员。 http://www.utstat.utoronto.ca/mikevans/isba/isba.html 国际贝叶斯分析协会主页。该协会建立于1992年，以促进贝叶斯理论的发展及其在科学、工业和政府的应用。该网站服务于国际贝叶斯分析协会的会员，同时也服务于对贝叶斯统计学感兴趣的团体和个人。 http://www.cbs.nl/isi/ 国际统计协会的主页。是世界上最古老的科学联合会之一，创建于1885年。该网站为统计学家、教育家以及任何对数据分析技术感兴趣的人提供了许多资源的链接。 http://www.rss.org.uk/ 英国皇家统计协会主页。为对统计学感兴趣的人士提供了一个论坛。该协会有6000名会员，其中四分之一是英国以外的会员。 http://www.econ.ag.gov/sigstat/ 统计学研究的特别兴趣组，该主页对即将到来的统计学会议、会议地点名录、相关统计学教育信息、统计学虚拟图书馆、联机电子杂志及其它统计学资源等都做了链接。 http://www.mathstat.flinders.edu.au/stats/...s/stat_soc.html 澳大利亚统计协会的主页。 http://www.mast.queensu.ca/~ssc/ 加拿大统计协会的主页。 http://www.statcan.ca/start.html 加拿大国家统计局的主页。 http://www.ssb.no/ 挪威产生官方统计数字的中央机构，在挪威社会中占有重要地位。 统计学软件:http://faculty.vassar.edu/~lowry/VassarStats.html 出色的计算概率、线性相关性等的联机软件。 http://www.analyse-it.com Anlyse-It软件主页，是添加在Excel当中的低成本统计软件。 http://www.forecastx.com John Galt决策有限公司主页,其主要产品是ForecastX,它是一个重要的商业预测及统计学时间序列引擎，包括20多种预测技术和多于42种的统计方法。 http://www.cbpredictor.com/cbpredictor/index.html CB Predictor软件主页，它是Crystal Ball这一套世界级决策支持工具中最近增加的一个软件。CB Predictor是第一个、也是仅有的时间序列预测软件，用于为个人和机构利用历史信息辅助其进行风险分析和商业决策。 http://www.civilized.com Civilized软件主页——MLAB数学和统计建模系统，用于研究、勘探和科学数据分析，包括ODE模型。 http://www.cytel.com/ Cycle软件公司主页，主要产品有StatXact, LogXact, EaSt 和 Egret软件等。 http://www.dsi-software.com 识别系统有限公司主页，主要产品是CARStat 和 DUMPStat统计软件——用于地下水和环境探测咨询等的统计软件。 http://www.eventstudy.com/ 用于金融研究、教育和咨询方面的软件 http://www.mnemonic.com Mnemonic技术有限公司主页。它的智能决策系统能在不确定性存在的情况下自动作出最佳决策。 http://www.ncss.com 数学资源之——信息论、控制论、运筹学信息论、控制论 http://www.ma.hw.ac.uk/~chris/MR/MR.html 数学资源之——计算数学,数值分析计算数学,数值分析 http://forum.swarthmore.edu/epigone/alt.math.undergrad 数学论坛。一个关于大学本科数学问题和难题的论坛。数学论坛包括了读者可以发表文章参与讨论的文档，以及可以查看或检索文档化的信息。 http://www.maa.org/pubs/monthly.html 美国数学月刊（MMA联机版）——美国数学协会（MAA）Roger A.Horn，编辑。 本月刊刊登数学方面的论文，评论以及其它相关的文章。 http://www.math.arizona.edu/software/uasft.html Arizona数学软件。超过60个教育程序的集合，可被教师和学生在课堂上、实验室和家庭环境中使用。 http://cdeagle.cnchost.com/ BNALib，一个运行于个人pc上的数值分析软件库。 以源代码形式提供的BNALib软件包，是一个子例程，函数和演示程序组成的工具箱，它可进行数值分析计算。 http://www.math.psu.edu/ccma/ 计算数学和应用中心------Penn州立大学数学系。 Penn州数值分析和应用数学的教学与科研工作中心之一。应用与计算数学研究班课程系列，PDEs与数值方法研究班课程系列，教职人员与研究生的情况等。 http://www.math.gatech.edu/cdsns/ 动力系统和非线性研究中心———Georgia Tech数学学院。 始建于1988年9月，以加强数学学院已经开展了的研究活动，研究重点包括动力系统，微分方程，非线性分析和应用。 http://www.maplesoft.com/CyberMath/ Waterloo Maple公司。你可以订购本软件来管理，共享和出版因特网上的数学资源。本软件可以提供交互式的媒体来探索和交换关于数学的思想，并且包括了高中，大学本科以及研究生层次的各种数学主题。 http://home.miningco.com/education/ 教育：数学----Mining公司。网络站点资源列表。 http://nyjm.albany.edu:8000/mathjours.html 数学科学电子期刊----Albany大学数学系。链接到数学学科的电子期刊，以及那些同时出版电子本和印刷本的期刊。 http://etna.mcs.kent.edu/cgi-bin/getfiles.pl 数值分析学报电子版索引----Kent州立大学。 可供检索ENTA刊登的全部文章的索引。为检索论文，可向Glimpse检索引擎输入检索词。 http://etna.mcs.kent.edu/ 数值分析学报电子版（ETNA）----Kent州立大学，Reichel，Varga，Eds.。 报道数值分析与科学计算领域最新动态和重大进展的电子期刊。 http://www.elsevier.nl/ Elsevier 科学。作为面向全世界的信息提供商，Elsevier的目标是在一个适当利润的基础上，通过实现国际学术界的交流需要，来促进科学，技术以及医学的发展。 http://mathworld.wolfram.com/ Eric Weissteind的数学世界----Eric W.Weisstein与Wolfram研究公司。 一个按字顺排列可检索全文的综合性数学百科全书，包括数学术语，方程和导数等，并附有注解，例子与参考文献等。 http://www.ingenieur.de/ernst/SOFTWARE.htm FEM-Strukturanalysen：有限元软件----von Ernst &Partner。一个广泛的指向FEM软件资源的链接列表，分为如下目录：产品与生产者，免费软件与共享软件，其他软件列表与链接集合，图书，有限元论文等。 http://www.math.psu.edu/dna/fecircus.html 有限元论坛----Penn州州立大学数学系，Douglas N. Arnold。一个有限元方法理论与应用的定期会议，还包括数值分析与偏微分方程等相关领域。 http://www-users.informatik.rwth-aachen.de...generation.html 有限元网状生成——Robert Schneiders。 Mesh generation是一个数值分析学科内的跨学科的领域，它包括数学家，计算机科学家以及来自诸多领域的工程师。本主页致力于促进理论与应用之间的关系。 http://www.cs.utah.edu/~zachary/isp/applets/FP/FP.html 浮点数指南。 可帮助你理解尾数值和指数域的意义，以及下溢，上溢和舍入错误的含义。包括一个在单独的窗口中的Java 程序。 http://www-sccm.stanford.edu/FoCM/ 计算数学基础。 FoCM的主要目标在于促进数学分析，拓扑，集合与计算过程之间深层关系的理解，它们随着现代计算机的发展而得到发展。 http://mrb.niddk.nih.gov//sherman/gallery/ 数学建模导引。已经出版的模型的标准版。 http://www.e-notebooks.com/products/global/ 全局优化。 一个数学软件包，可提供一组解决非线性优化问题的工具，还有许多别的应用，如查找根或非解析函数的零。 http://www.elsevier.nl/homepage/saj/501439/Menu.shtml 数值分析手册。 数值分析手册的背景信息，包括内容列表，图书评论，总序和数值分析时事通讯手册。 http://www.natinst.com/hiq HIQ 分析，可视化和报告生成---一个交互式的问题解决环境，可用来对现实世界的科学和工程问题进行分析、可视化、编写文档。 http://archives.math.utk.edu/images.html 图象和数学（数学文档）。 基于或相关于数学原理的图象的集合，许多纯数学抽象。 http://www.icase.edu/ 科学与工程计算机应用协会。 应用数学，数值分析，流体动力学和计算机科学的研究中心，由大学空间研究协会（USRA）运作，可为NASA的科学家和工程师的相互作用提供一种自然机制。 http://jean-luc.ncsa.uiuc.edu/ NCSA/LCA-Potsdam-WashU</a> 国际数值相对论组织。 超级计算应用国家中心，使用超级计算机来研究黑洞，引力波，以及别的由爱因斯坦的广义相对论预言的现象。 http://www.brookscole.com/math/ Brooks/Cole出版数学课程全部领域的教科书和技术产品，从算术，微积分学和微分方程到数值分析，包括先前被PWS出版的文本。 http://www.maths.usyd.edu.au:8000/MathSearch.html 超过9万条位于数学和统计学服务器上的可检索的文档，主要为研究层次和大学本科级的文档。 http://www.mathware.com/ 代数，几何和微积分的软件和书籍。 http://www.mathworks.com/ MathWorks公司。MathWorks是推出MATLAB的公司，这是一个高性能数值计算环境，一个交互式的建模、分析和模拟大量动态系统的环境。 http://www.math.fsu.edu/Science/Biblo.html 链接到大学本科级数学图书的书目。 http://www.math.fsu.edu/Science/Journals.html 大学本科级数学电子期刊的字顺表。 http://www.math.fsu.edu/Science/Software.html 用于大学本科级数学教学的软件站点的链接。 http://www.math.fsu.edu/Science/Specialized.html 链接到大学本科级数学特定领域资源的站点。 http://www.inria.fr/Equipes/MODULEF-eng.html Modulef：科学计算方法与工具。 Modulef项目终结于1995年12月31日。这个项目的成员后来又开展了GAMMA项目以及MOSTRA预研项目。本主页包括此项目的重要事件报告（1995年，法文，并有英文文摘），成果报告等。 http://www.netlib.org/ Netlib repository包括可以免费得到的数学和统计软件，文档以及数值，科学计算等方面的数据库。本知识库由bell实验室进行维护。 http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/...ndex/65-XX.html 数值分析----Dave Rusin，数学文集。 本页为短篇论文的集合，用来提供一个对数值分析的介绍。 http://www.math.fsu.edu/Science/num.html 数值分析----Florida州立大学数学系。链接到一些新闻组（sci.math.num-analysis 和comp.soft-sys.matlab等）以及别的大学本科级数值分析资源。 http://forum.swarthmore.edu/advanced/numerical.html 数值分析----数学论坛。 链接到一些最好的因特网数值分析资源：网络站点，软件，因特网项目，出版物和公共论坛。 http://www.netlib.org/na-digest/html/search_form.html 数值分析文摘检索界面。 数学分析文摘集中了数值分析理论与应用方面的文章。所有的论文使用Glimpse标引过。需要在检索窗体中键入短语或词，并为查询选择适当的设置，即可进行检索。 http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/ L N Trefethen教授，数值分析----牛津大学Balliol学院。链接到牛津大学数值分析研究团体出版的图书与近期发表的论文。图书包括Matlab中的谱方法，有穷微分和谱的方法，数值线性代数等。 http://www.cs.utah.edu/~zachary/isp/applet...l/Rational.html 有理数指南。 本指南探索了有理数的性质，自然数系统中最小和最大整数的意义，以及溢出的含义。 数学资源之——数理逻辑、数学基础数学资源之——数理逻辑、数学基础：
http://www.disi.unige.it/aila/eindex.html 意大利逻辑及其应用协会的主页，包括意大利数理逻辑领域的相关内容。 http://www.plenum.com/title.cgi?2110 《代数与逻辑》，《西伯利亚代数与逻辑期刊》的翻译版，荷兰的Kluwer学术出版社提供其在线服务。 http://forum.swarthmore.edu/epigone/alt.math.undergrad Msth Forum上的大学生和研究生数学论坛,提供档案文件、论题等信息。 http://theory.lcs.mit.edu/~dmjones/hbp/apal/ 《纯逻辑与应用逻辑学年鉴》，麻省理工大学计算理论小组主页提供其过刊的浏览，荷兰的Elservier出版社提供其电子刊的在线服务。 http://link.springer.de/link/service/journ...00153/index.htm 《数学逻辑档案》，属于德国Springer出版公司在线电子期刊的一种。 http://www.homestead.com/nilog/files/arist...adoxes_of_l.htm 亚里士多德及其逻辑理论研究。 http://www.cs.bham.ac.uk/~exr/blc/ 不列颠逻辑研讨会的主页，包括数学逻辑的相关研究，如相关网站及电子期刊。 http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/brows...3600008-7001844 浏览亚马逊网上专业和技术店中的数学畅销书，提供应用范畴，混沌与系统化；几何与拓扑；数学分析； 数学物理学；数字规律；纯数学；数学变换等领域，包括数理逻辑方面的畅销书的在线预览。 http://www.math.ucla.edu/~asl/ 加利福尼亚大学洛杉矶分校数理逻辑协会的《数理逻辑通讯》。 http://www.torget.se/users/m/mauritz/math/ 瑞典的逻辑、数学和推理主页，提供抽象代数学、数字、矢量代数分析学，矢量场分析，逻辑形式系统等的定义和描述。 http://www.math.toronto.edu/mathnet/falseP.../fallacies.html 多伦多大学数学网主页，提供数学的各种论题。 http://www.cs.nmsu.edu/~complog/ 美国逻辑规划组织 http://www.nd.edu/~cholak/computability/co...putability.html 可计算性理论主页，提供数理逻辑协会主页的链接，主要内容包括可计算性理论领域的各类活跃人员及其研究领域等。 http://www.cs.brown.edu/courses/cs022/ 布郎大学的离散数学主页，重点介绍离散数学：证据、逻辑、归纳、处理机的密码和网络系统：课程、家庭作业、资料 http://www.kingsu.ab.ca/~glen/cshpm/home.htm 加拿大社会关于数学的哲学和历史 http://theory.lcs.mit.edu/~dmjones/hbp/jlogc/ 《逻辑与计算杂志》，麻省理工大学计算理论小组主页提供其过刊的浏览。 http://www.worldscientific.com/journals/jml/jml.html 世界科学公司的数学逻辑期刊。 http://archives.math.utk.edu/topics/logic.html 数学主题 田纳西州立大学数学系数学档案主页的数学主题：逻辑学与集合论，包括各种相关的网上资源。 http://www.cs.technion.ac.il/~admlogic/ 以色列逻辑主页，包括以色列多所大学的逻辑研究资源，也包括数学领域的逻辑研究。 http://www.uni-bonn.de/logic/world.html 德国的世界数学逻辑主页，由波恩大学数学逻辑小组和维也纳大学逻辑研究所提供服务。 http://www.wiley-vch.de/berlin/journals/mlq/index.html 德国的数学逻辑季刊，包括期刊目次、作者信息、编辑公告等内容。 http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/...ndex/03-XX.html 北伊利诺伊大学数学科学系的数学逻辑及基金主页，提供相关的会议、参考资源、软件等信息。 http://www.ed.ac.uk/~pmilne/ml/home.html 现代逻辑》，关于数学逻辑的历史、集合论和数学基础的国际期刊，提供在线的目次、文摘和作者索引等内容。 http://www.uni.torun.pl/StudiaLogica/ 《逻辑研究》，波兰科学院哲学与社会学研究所的国际数理逻辑期刊。 |
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